【正文】 利用 Pontryyagin最小值原理 獲得 。 對(duì)于上模型的求解 ， 雖然有很多 求解連續(xù)性最優(yōu)控制 問(wèn)題的算法 ， 但是 直接求解動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)模型 十分困難 。 一般將模型在 時(shí)間上離散化 ， 求解模型的 離散 形式 。 此時(shí)模型可看作是離散時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)控制模型 ， 也可以看作是一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 。 )(txna )(tuna智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 4）動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu)分配模型 隨著 動(dòng)態(tài)交通分配理論 研究的深入 ， 動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu) （ DUO）分配模型的研究得到了加強(qiáng) 。 動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu)分配模型 的建立是基于對(duì) 出行者路徑選擇行為 正確假定的基礎(chǔ)上 ， 力圖再現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)上交通流的 實(shí)際瞬時(shí)分布形態(tài) ， 因此更為重要 。 許 多 學(xué) 者 如 Wieet （ 1990 ） 、 Ra （ 1993 ） 、Papageious（ 1990） 等對(duì) 動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu) 進(jìn)行了 不同角度 的定義 ， 因此對(duì) 動(dòng)態(tài)路徑選擇行為 也就存在著不同角度的描述 。 對(duì)動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu) 定義 的不同 ， 會(huì)構(gòu)造出不同 動(dòng)態(tài)交通用戶分配模型 。 這里僅給出一個(gè) 基于最優(yōu)控制理論 的動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu)的模型 ， 模型中采用 Wieet（ 1990） 的關(guān)于動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu)的定義 。 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 4）動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu)分配模型 模型中與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)不同的是 ， 將路段流入率 、 路段流出率 作為 控制變量 ， 作為 狀態(tài)變量 。 具體模型如下： )(tuna)(tvna )(txna dtdtxcJ aAa T tv aa ?? )),((:min 0 )(0? ? ??? )()()( tvtudt tdx nanana ?? nktvtqtukBanankkAana ??? ????)()()()(,)( 0)()( ??? tunAana ??? dvtx tttnana a )()( )(? ??（ 37） （ 38） （ 39） （ 310） （ 311） 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 4）動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu)分配模型 其中 ， 是路段實(shí)際走行時(shí)間的估計(jì)值 。 （ 312） )(ta? 。0)0( ?nax ( ?txna 0)( ?tu na 0)( ?tvna； ； 模型中， 。 ],0[ TtNkNnAa ????????對(duì)于上述問(wèn)題的求解同樣需要首先將 模型離散化 ， 得到 離散時(shí)間 系統(tǒng)的 最優(yōu)控制模型 ， 該離散時(shí)間形式可以看作是一個(gè)非線性規(guī)劃 問(wèn)題 ， 應(yīng)用 FrankWolf方法來(lái)求解 。 在具體的算法設(shè)計(jì)中 ， 可以將估計(jì)路段 實(shí)際走行時(shí)間 的“ 類(lèi)似對(duì)角化技術(shù) ” 過(guò)程作為 外層循環(huán) ， 將 FrankWolf迭代過(guò)程 作為 內(nèi)層循環(huán) 。 同樣 ， 有關(guān) 動(dòng)態(tài)用戶最優(yōu)模型 的合理可行的 、能夠應(yīng)用于實(shí)際大規(guī)模路網(wǎng)的算法的研究 ， 目前還是理論界積極探討 、 摸索的問(wèn)題 。 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 模型 由 Merchant和 Nemhauser（ 1978） 提出 （ 以下簡(jiǎn)稱 MN模型 ） ， 該模型是 靜態(tài)交通分配模型 的擴(kuò)展 ， 簡(jiǎn)單直觀 ， 但存在如下 缺陷 ： ① 該模型只適合 單終點(diǎn) 網(wǎng)絡(luò) 。 ② 路段流出率函數(shù)的 非凸非線性 特征特性導(dǎo)致解的 可行域非凸 ， 因此不能直接運(yùn)用 KuhnTucher條件推導(dǎo)最優(yōu)解 。 ③ 同時(shí)選取路段車(chē)輛存在臺(tái)數(shù)和路段流入率為規(guī)劃變量 ，使得 規(guī)劃變量過(guò)多 ， 求解困難 。 自 MN模型提出之后 ， 又有許多研究者圍繞 MN模型提出了一系列 改進(jìn) 。 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 模型 在 MN模型的基礎(chǔ)上 ， Luque和 Friesz（ 1980） 采用路段上不同重點(diǎn) 的行駛 車(chē)輛數(shù) 作為 狀態(tài)變量 ， 以路段上不同終點(diǎn)的車(chē)輛 流入率 作為 控制變量 ， 將網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展至 多個(gè)終點(diǎn) ，建立動(dòng)態(tài)交通分配的最優(yōu)控制模型 。 該模型假定 路段流出 函數(shù)為 線性 函數(shù) ， 即 ， 由 FIFO規(guī)則 ， 不同類(lèi)型 、 不同終點(diǎn)的車(chē)輛在路段中 均勻混合 ，沒(méi)有任何特定的車(chē)輛具有優(yōu)先權(quán) ， 因此有 。 最優(yōu)條件 由 Pontryagin極大值 定理獲得 。 模型如下： )(txna )(tuna )())(( txtxg aaaa ?? )())(),(( txtxtxg naaanana ?? dtdcJ aAaT txaa ??? ))((:min0)(0? ? ???（ 313） 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 模型 其中 ， 。 該模型對(duì) 路段流出率 函數(shù)的 線性特性 作出了 限制 。 實(shí)際上路段流出率函數(shù)一般為 非凸非線性 ， 導(dǎo)致解的可行域非凸 ， 不能直接運(yùn)用 Pontryagin極大值定理推導(dǎo)最優(yōu)解 。 （ 314） （ 315） （ 316） （ 317） )()()( txtutx nannana ??? nktxtqtu kBa naankkAa na ??? ?? ?? )()()( )(,)( ?0)()( ??? tunAa na 。0)0( ?nax ( ?txna )( ?tuna 0) ?tvna； ； ],0[ TtNkNnAa ????????智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 模型 Luque和 Friesz提出動(dòng)態(tài)交通分配的最優(yōu)控制模型后 ， 眾多的研究者在此基礎(chǔ)上作出了一些改進(jìn)： ① 在 路段狀態(tài) 方程中加入 滯后 ， 滯后時(shí)間為 路段自由行駛時(shí)間 ， 避免車(chē)輛一進(jìn)入路段即對(duì)路段末端流出率產(chǎn)生影響 。 ② 引入控制變量 ， 添加不等式約束 。 改造原問(wèn)題為 凸控制 問(wèn)題 ， 以利用 Pontryagin極大值定理 。 af],0[)) ,(()( )()()( TtNnAatxgtx txftutx aaanaanana ?????????（ 318） （ 319） )())(()(txtxgtraaaa ? )()())(( txtrtxg naNn aaa ?? ??智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 模型 ③ 分別從 系統(tǒng)最優(yōu) 、 用戶最優(yōu) 的角度對(duì) 目標(biāo)函數(shù) 作出 修正 。 系統(tǒng) 最優(yōu) （ System Optimum） 預(yù)測(cè)型用戶 最優(yōu) （ Predictive User Optimum） dtdcJ aAa T tx aa ??? ))((:m i n 0 )(0? ? ??? （ 3 21 ） dttvtutxcJ aaAa T aa ))()(())((:m i n 0 ?? ? ?? （ 3 22 ） （ VI， Variational Inequality ） 模型 將動(dòng)態(tài)交通分配過(guò)程分解為網(wǎng)絡(luò)加載和網(wǎng)絡(luò)分配兩個(gè)過(guò)程 。 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 （ VI， Variational Inequality ） 模型 網(wǎng)絡(luò)加載 過(guò)程就是將 空間 網(wǎng)絡(luò) 按時(shí)間離散 展開(kāi) ， 將已經(jīng)分配好的 交通流量 按照其預(yù)計(jì) 行駛時(shí)間 和預(yù)選 路徑 推演到按 時(shí)間展開(kāi)的網(wǎng)絡(luò)圖上 。 網(wǎng)絡(luò)分配 過(guò)程是根據(jù)這個(gè)時(shí)間展開(kāi)好的 網(wǎng)絡(luò)圖 進(jìn)行一次 平衡分配 ， 再將分配結(jié)果 疊加 到網(wǎng)絡(luò)中 ， 反復(fù)迭代 直到 收斂 。 VI模型的 網(wǎng)絡(luò)加載 過(guò)程是基于 路徑 的 ， 因此用戶在起點(diǎn)按照 最小行駛時(shí)間 原則選好路徑后 ， 就 不允許 中途改變路徑 。 問(wèn)題表述為：在 可行域 ， 在下列方程式中尋求一個(gè) 使得： ? ???u? ? 0c u u u ?? ? ? ? ? ? ? （ 3 23 ） 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 （ VI， Variational Inequality ） 模型 可行域 由下列 約束方程式 限定 ， 是每次 平衡分配 完成 的 子集 。 ? ?? ?tkpasrtkhtu rsa p krsprsa p k ,,)()()( ?? ? （ 3 24 ） ? ? ? ? ? ? ???rs p k rs p krsa p krsprsa p ka tatkhtutu ,)()()()( ? （ 3 25 ） kpsrttckca trsa pkarsp ,)()()( ?? ? ? ? （ 3 26 ） ? ? 1 , , , ,rsapktt r s p a p k? ? ? ?? （ 3 27 ） ? ? 1 , , , ,rsapkt t r s p a p k? ? ? ?? （ 3 27 ） ? ? ? ?0 , 1 , , , , ,rsapk t r s a p k t? ?? （ 3 28 ） 智能運(yùn)輸系統(tǒng)概論 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)分配模型 ； 。 5）各類(lèi)模型的基本分析 （ VI， Variational Inequality ） 模型 ? ? ? ?r s r shp