【正文】 量 （ 無明確意義的物理量），可以推出 ?? ??? i dtCxRii dtCx 1,1 21 1x)()(1 12121 exLRxxRCdtdiRxx ??????? ??2212 )(11xyxxRCiCx?????15 其向量 矩陣形式為 ? ? ??????????????????????????????????????????2121211001111xxyLRxxRCRCRCLRRCxx??可見對(duì)同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不具有唯一性，動(dòng)態(tài)方程也不是唯一的。 例 14 由質(zhì)量塊 、 彈簧 、 阻尼器組成的雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示 ， 具有力 F和阻尼器氣缸速度 V 兩種外作用 ， 輸出量為質(zhì)量塊的位移 ， 速度和加速度 。 試列寫該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 。 分別為質(zhì)量 、 彈簧剛度 、 阻尼系數(shù)； x為質(zhì)量塊位移 。 雙輸入－三輸出機(jī)械位移系統(tǒng) 解 根據(jù)牛頓力學(xué)可知 ， 系統(tǒng)所受外力 F與慣性力m 、 阻尼力 f( － V )和彈簧恢復(fù)力 構(gòu)成平衡關(guān)系 ， 系統(tǒng)微分方程如下 : 這是一個(gè)二階系統(tǒng) ， 若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度 ， 系統(tǒng)在輸入作用下的解便可唯一確定 ， 故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量 。 設(shè) 。 由題意知系統(tǒng)有三個(gè)輸出量 ， 設(shè) x? x? kxFkxVxfxm ???? )( ???fk,m,xxxx ??? 21 ,xyxxyxxy ??? ????? 32211 ,16 于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程 ? ?FkxVxfmxxxx???????12221)(1????其向量 矩陣形式為 ??????????????????????????????????????VFmfmxxmfmkxx 1 00102121??112231 0 0 00 1 0 01yx Fyx Vk f fym m m m? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?? ????? ? ? ? ?????????? ? ? ? ?? ? ? ? 由高階微分方程建動(dòng)態(tài)方程 1) 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)( ??????? ???? ?? 選 n個(gè)狀態(tài)變量為 有 )1(21 , ???? nn yxyxyx ???????????????????????11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn??????得到動(dòng)態(tài)方程 cxybuAxx????17 式中 ? ?1210 1 2 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0, , , 1 0 00 0 0 1 0nnnxxx A b cxx a a a a ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 2) 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： ubububuyayayay nnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( ????????? ???? ???? 一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù) n。首先研究情況，為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量，設(shè) 例 1－ 5 18 其展開式為 ?????????? niuhxxuhyxiii ,3,21101?????????????????????????????????????uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnn 1)2(1)1(0)1(112102231011201???????????式中， 是 n個(gè)待定常數(shù)。 是 n個(gè)。 110 , ?nhhh ?由上式的第一個(gè)方程可得輸出方程是 n個(gè)。 uhxy 01 ??其余（ n－ １）個(gè)狀態(tài)方程如下 n個(gè)。 uhxxuhxxuhxxnnn 11232121?? ??????????＃ 對(duì)＃式求導(dǎo)，有 ： ( ) ( ) ( 1 )0 1 1( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )1 1 0 0 0 0 1 1()n n nnnn n n nnnx y h u h u h ua y a y a y b u b u h u h u h u??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19 由展開式將 均以 及 u 的各階導(dǎo)數(shù)表示，經(jīng)整理可得 yyy n ,)1( ??? ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110???????????????????????????????????令上式中 u 的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零 ， 可確定各 h 值 01211101110hahabhhabhbhnnnnnn??????????????記 0011110 hahahabh nnn ????? ?? ?故 uhxaxax nnnn ????? ? 110 ??則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ducxybuAxx?????式中 ? ? 012112100001100001000010hdchhhhbaaaaAnnn?????????????????????????????????????????????????????20 若輸入量中僅含 ｍ 次導(dǎo)數(shù)且 ，可將高于 ｍ 次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)置 0，仍可應(yīng)用上述公式。 nm? .3 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程 01111110)()()(asasasbsbsbsbsUsYsGnnnnnnn????????????????應(yīng)用綜合除法有 )()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn ????????????????? ??? 式中， 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，當(dāng) G(s)的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時(shí)， ， 是嚴(yán)格有理真分式，其分子各次項(xiàng)的系數(shù)分別為 nb0?nb )( )(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000??? ??????????下面介紹由 導(dǎo)出幾種標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的方法： 1） 串聯(lián)分解 如圖，取 z為中間變量，將 分解為相串聯(lián)的兩部分，有 )()(sDsN)()(sDsNzzzyuzazazaznnnnn01)1101)11)(??? ???????????????＋＋（（選取狀態(tài)變量 )1(21 , ???? nn zxzxzx ??)()(sDsN21 則狀態(tài)方程為 1223( 1 )0 1 10 1 1 2 1nnnnnxxxxx a z a z a z ua x a x a x u?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?輸出方程為 nn xxxy 12110 ????? ??? ?其向量 矩陣形式 cxybuAxx????式中， ?????????????????????naaaaA?????????210100001000010?????????????????1000?b? ?110 ?? nc ??? ?當(dāng) 具有以上形狀時(shí)， 陣稱為友矩陣，相應(yīng)的狀態(tài)方程則稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 bA和 A0121 ???? ?n??? ? 時(shí)， 的形式不變， bA和 ? ?000 ???c22 當(dāng) 時(shí) ， 不變 ， )()()(sDsNbsGn ??cbA , ubcxy n??當(dāng) 時(shí) ， 若按下式選取狀態(tài)變量 0?nb Toc AA ? Toc cb ? Toc bc ?式中 ， T為轉(zhuǎn)置符號(hào) ， 則有 ?????????????????????? 1210100010001000naaaaA???????????????????????110nb????? ?100 ??c注意 的形狀特征 。 若動(dòng)態(tài)方程中的 具有這種形式 ， 則稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 。 自行 證明 ： 可控標(biāo)準(zhǔn)型 和 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 是同一傳遞函數(shù)的不同實(shí)現(xiàn) 。 可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖如圖 ： cA, cA, （ 對(duì)偶關(guān)系 ） 可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 23 例 16 設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為 ，試列寫可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程，并分別確定狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系。 解 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 212 21)()()(??? ??????nssTssUsYsG于是 ， 可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣為 ???????21ccc xxx ????????? ??? 2102cA ???????10cb ? ?Tc c 1?由 G(s)串聯(lián)分解并引入中間變量 z有 22z z z uy Tz z?? ?? ? ???對(duì) y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式 ， 則有 TuTzzTzzTy ?????? 2)21( ??? ?????令 可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入 ， 輸出量的關(guān)系； ,1 zxc ? ,2 zxc ??)21()()21(])21([22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc???????????????????????可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程中各矩陣為 22y y y T u u? ? ?? ? ? ????????21ooo xxx ????????????210 2oA ???????Tbo1 ? ?10?oc24 狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系為 122