線性代數(shù)-二次型-課件-文庫吧
2025-07-31 20:37 本頁面
【正文】 nnA C y y y yy C k k k? ? ? ??2定義 , PnBAn 階滿秩陣若存在和階方針對使成立 APPB T? BA 與則稱 .合同形的問題就轉(zhuǎn)變成如何于是，化二次型為標準.對角矩陣的問題使實對稱矩陣合同于實即有用于二次型因此把這個結(jié)論應(yīng)即使總有正交矩陣陣由于對任意的實對稱矩,., 1?????APAPPAPPT? ?化為標準形使正交變換總有任給二次型fPyxaaxxaf jiijnjijiij, 1,??? ??,2222211 nn yyyf ??? ???? ?? ? ., 21 的特征值的矩陣是其中 ijn aAf ???? ?1定理.1的特征值系數(shù)一定是準形經(jīng)過正交變換化成的標、AAxxf T?說明 時，必有在持向量的長度不變，即而言，正交變換將保、對正交變換QyxQyx??222 yx ?事實上，)()(,2 QyQyQyQyxxx T???????2, yyyyyQyQy TTT ??????用正交變換化二次型為標準形的具體步驟 。,.1 AAxxf T 求出將二次型表成矩陣形式 ? 。,.2 21 nA ??? ?的所有特征值求出 。,.3 21 n??? ?征向量求出對應(yīng)于特征值的特 ? ?。,,,.4212121nnnC ?????????????記得單位化正交化將特征向量 .,.52211 nn yyffCyx?? ?????的標準形則得作正交變換 1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 ?????????????????144241422217A???????????????144241422217IA? ? ? ?918 2 ???? ??什么曲面？表示化成標準形，并問通過正交變換將二次型2,844141417 323121232221????????fPyxxxxxxxxxxf例 4 解從而得特征值 .18,9 321 ??? ???? ? 得基礎(chǔ)解系代入將 ,091 ??? xIA ??2．求特征向量 ? ? 得基礎(chǔ)解系代入將 ,01832 ???? xIA ???,)0,1,2(2 ?? T? .)1,0,2(3 ?? T?3．將特征向量正交化 ,11 ?? ? 取)1,1,21(1 T??,22 ?? ? , 2223233 ?????????????得正交向量組 .)1,54,52(3 ??? T?,)0,1,2(2 ?? T? ,)1,1,1(1 T??? ? ,3,2,1, ?? iiii ???令得,051522?????????? ??? ,3232311???????????? .4554544523??????????????.45503245451324525231??????????????P 所以4．將正交向量組單位化，得正交矩陣 P于是所求正交變換為 ,45503245451324525231321321??????????????????????????????????yyyxxx.18189 232221 yyyf ???且有即,Pyx ?表示橢球面。此時，容易看出 2?f解 .22 2222 , 434232413121化為標準形把二次型求一個正交變換xxxxxxxxxxxxfPyx???????例 5 二次型的矩陣為,0111101111011110???????????????????A它的特征多項式為.111111111111??????????????? IA有四列都加到第一列上三把二計算特征多項式 ,: ,1111111111111)1(??????????????? IA有四行分別減去第一行三把二 ,1000212022101111)1(?????????????????? IA1221)1( 2
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