【正文】 )，這一元素及另1名男生排在首尾，=24種.【點(diǎn)撥】排列問(wèn)題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個(gè)位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對(duì)于這類問(wèn)題，在分析時(shí)，主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對(duì)于“相鄰”問(wèn)題可用“捆綁法”，對(duì)于“不相鄰”問(wèn)題可用“插空法”.對(duì)于直接考慮較困難的問(wèn)題，可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(1)43 251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)?(2)這個(gè)數(shù)列的第97項(xiàng)是多少?【解析】(1)不大于43 251的五位數(shù)A55(A44+A33+A22)=88個(gè)，即為此數(shù)列的第88項(xiàng).(2)此數(shù)列共有120項(xiàng)，而以5開(kāi)頭的五位數(shù)恰好有A44=24個(gè)，所以以5開(kāi)頭的五位數(shù)中最小的一個(gè)就是該數(shù)列的第97項(xiàng)，即51 234.題型三　有限制條件的組合問(wèn)題【例3】 要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng).(1)A，B，C三人必須入選有多少種不同選法?(2)A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法?(3)A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法?(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法?(5)A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法?【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，C29=36種不同選法.(2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有C59=C49=126種選法.(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有C13種選法，再?gòu)挠嘞碌?人中選4人，有C49種選 法，所以共有C13?C49=378種選法.(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都不入選的情況C59，共有C512C59=666種選法.(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都入選的情況C29種，所以共有C512C29=756種選法.【點(diǎn)撥】遇到至多、至少的有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般要根據(jù)特殊元素分類.【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn).(1)在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法?(2)在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法?【解析】(1)：在同一個(gè)面上取，共有4C46種。第二類：在一條棱上取三點(diǎn)，再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn)，共有6種。第三類：在六條棱的六個(gè)中點(diǎn)中取，取兩對(duì)對(duì)棱的4個(gè)中點(diǎn)，共有C23=.(2)=141種.總結(jié)提高解有條件限制的排列與組合問(wèn)題的思路：(1)正確選擇原理，確定分類或分步計(jì)數(shù)。(2)特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮。(3)再考慮其余元素或其余位置. 二項(xiàng)式定理典例精析題型一　二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【例1】 已知 的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.(1)求證：展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).【解析】由題意得2C1n? =1+C2n?( )2，即n29n+8=0，所以n=8，n=1(舍去).所以Tr+1= ?( ) ?=( )r? ? ?=(1)r? ? (0≤r≤8，r∈Z).(1)若Tr+1是常數(shù)項(xiàng)，則163r4=0，即163r=0，因?yàn)閞∈Z，這不可能，所以展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).(2)若Tr+1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)163r4為整數(shù)，又0≤r≤8，r∈Z，所以 r=0,4,8，即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是T1=x4，T5=358 x，T9=1256 x2.【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)。(2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)，如求某一項(xiàng)，含x某次冪的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)等，一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系)。(3) 注意區(qū)分展開(kāi)式“第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r+1項(xiàng)的系數(shù)”.【變式訓(xùn)練1】若(xx+ )n的展開(kāi)式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129，則這個(gè)展開(kāi)式中是否含有常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)?如果有，求出該項(xiàng)，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】由題知C0n+C1n?2+C2n?22=129，所以n=8，所以通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cr8(xx)8r = ，故r=6時(shí)，T7=26C28x=1 792x，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，而存在一次項(xiàng)，為1 792x.題型二　運(yùn)用賦值法求值【例2】(1)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a1+a2+…+an1=29n，則n=　　。(2)已知(1x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若5a1+2a2=0，則a0a1+a2a3+…+(1)nan=　　.【解析】(1)易知an=1，令x=0得a0=n，所以a0+a1+…+an=30.又令x=1，有2+22+…+2n=a0+a1+…+an=30，即2n+12=30，所以n=4.(2)由二項(xiàng)式定理得，a1=C1n=n，a2=C2n=n(n1)2，代入已知得5n+n(n1)=0，所以n=6，令x=1得(1+1)6=a0a1+a2a3+a4a5+a6，即a0a1+a2a3+a4a5+a6=64.【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時(shí)應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x1)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7++a2+a4+a6+a8的值.【解析】令f(x)=(3x1)8，因?yàn)閒(1)=a0+a1+a2+…+a8=28，f(1)=a0a1+a2a3+…a7+a8=48，所以a0+a2+a4+a6+a8=f(1)+f(1)2=27(1+28).題型三　二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：46n+5 n+19能被20整除.【解析】46n+5n+19=4(6n1)+5(5n1)=4[(5+1)n1]+5[(4+1)n1]=20[(5n1+C1n5n2+…+Cn1n)+(4n1+C1n4n2+…+Cn1n)]，是20的倍數(shù)，所以46n+5n+19能被20整除.【點(diǎn)撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題時(shí)，首先需注意(a+b)n中，a，b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù)。其次展開(kāi)式有什么規(guī)律，余項(xiàng)是什么，必須清楚.【變式訓(xùn)練3】，.【解析】=()6=1+6()1+15()2+…+()6.因?yàn)門(mén)3=C26()2=15()2= 06，所以從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì).=()6≈1+6()==.總結(jié)提高(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等)，解決這些問(wèn)題通常采用待定系數(shù)法，運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出待定式，再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫(xiě)出n、r滿足的條件，求出n和r，再確定所需的項(xiàng)。、差問(wèn)題的一個(gè)重要手段。，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形，要注意余數(shù)的取值范圍.　隨機(jī)事件的概率與概率的基本性質(zhì)典例精析題型一　頻率與概率【例1】，檢查結(jié)果如下表所示.抽取球數(shù)n 50 100 200 500 1 000 2 000優(yōu)等品數(shù)m 45 92 194 470 954 1 902優(yōu)等品頻率(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率。(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少?(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)【解析】(1)依據(jù)公式 ，,,.(2)由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取的球數(shù)的增多，.【點(diǎn)撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)所抽乒乓球較少時(shí)，優(yōu)等品的頻率波動(dòng)很大，但當(dāng)抽取的球數(shù)很大時(shí)，在其附近擺動(dòng)，利用概率的統(tǒng)計(jì)定義，可估計(jì)該批乒乓球的優(yōu)等率.【變式訓(xùn)練1】某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場(chǎng)比賽中罰球的結(jié)果如下.投籃次數(shù)n 8 10 12 9 10 16進(jìn)球次數(shù)m 6 8 9 7 7 12進(jìn)球頻率(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率。(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率是多少?【解析】(1)由公式計(jì)算出每場(chǎng)比賽該運(yùn)動(dòng)員罰球進(jìn)球的頻率依次為：(2)由(1)知，每場(chǎng)比賽進(jìn)球的頻率雖然不同，但頻率總在 附近擺動(dòng)，可知該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率為 .題型二　隨機(jī)事件間的關(guān)系【例2】從一副橋牌(52張)，是否為對(duì)立事件.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”。(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”。(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”.【解析】(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對(duì)立.(2)，但其中必有一個(gè)發(fā)生.(3)不是互斥事件，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，如抽得12.【點(diǎn)撥】要區(qū)分互斥事件和對(duì)立事件的定義.【變式訓(xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對(duì)立事件為(　　) 【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義得選項(xiàng)B.題型三　概率概念的應(yīng)用【例3】 甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)后，得到如下列聯(lián)表.優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì)甲 10乙 30總計(jì) 105已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為 .(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表。(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”(參考數(shù)據(jù)P(K2)=)。(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)行編號(hào)，然后兩次擲一枚均勻的骰子，.【解析】(1)優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì)甲 10 45 55乙 20 30 50總計(jì) 30 75 105(2)計(jì)算K2的一個(gè)觀測(cè)值k= =.，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān).(3)記被抽取人的序號(hào)為ζ，則P(ζ=6)= ，P(ζ=10)= ，所以P(ζ=6或ζ=10)=P(ζ=6)+P(ζ=10)= = .【點(diǎn)撥】本題考查概率的概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有35個(gè)球，每個(gè)球上都記有從1~35中的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n的球的重量為 5n+20克，這些球以等可能性從袋里取出(不受重量、號(hào)碼的影響).(1)如果取出1球，試求其重量比號(hào)碼數(shù)大5的概率。(2)如果任意取出2球，試求它們重量相等的概率.【解析】(1)由不等式 5n+20n+5，得n15或n3，由題意知n=1,2或者n=16,17，…，35，于是所求概率為 .(2)設(shè)第n號(hào)和第m號(hào)的兩個(gè)球的重量相等，其中n所以(nm)(n+m15)=0.因?yàn)閚≠m，所以n+m=15，所以(n，m)=(1,14)，(2,13)，…，(7,8).故所求概率為 .總結(jié)提高， ，從集合的角度來(lái)看，事件 所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A∪ =U，A∩ = .對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B為互斥事件時(shí)，事件A+B是由“A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的.當(dāng)計(jì)算事件A的概率P(A)比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件 的概率則要