第3章-矩陣的分解-文庫吧
2025-07-21 09:59 本頁面
【正文】 。 s21 rsr2r1 )()()(AI ??????? ????? ?is1ii PA ??? ?， P具性質(zhì) ： IPis1i???i2i PP ?ji0PP ji ??1. 可對角矩陣的譜分解 分解分析： 分解結(jié)果： 冪等矩 陣 意義 ：可對角化矩陣可以分解成以譜加權(quán)的冪等矩陣的加權(quán)和 矩陣可以對角化的一個充要條件 定理 （ ） 矩陣 A可以相似對角化當且僅當矩陣 A有譜分解 ，滿足條件： is1ii PA ??? ?i2i PP ?ji0PP ji ??IPisi???1充分性的證明 ： 在 A有譜分解時 Cn=V ?1?V ?2 ? ? ? V ?n 3. 冪等矩陣的性質(zhì) 定理 3 .4（ ） P?Fn?n ， P2=P， 則 矩陣 PH和矩陣（ I–P） 仍然是冪等矩陣。 P 的譜 ?{0， 1}， P 可相似于對角形。 Fn = N（ P） ? R（ P） N（ P） =V ?=0 ， R（ P） =V?=1 P和（ I – P） 的關(guān)系 N（ I – P） =R（ P）， R（ I – P ） =N（ P） Hermite 矩陣的譜分解 定理 3 .6（ ） 設(shè) A是秩為 k的半正定的 Hermite 矩陣，則 A可以分解為下列半正定矩陣的和。 A=v1v1H+v2v2H+… vkvkH 167。 Schur 分解和正規(guī)矩陣 已知 ： 歐氏空間中的對稱矩陣 A可以正交 相似于對角形。 討論 ： 一般方陣 A ，在什么條件下可以 酉相似于對角矩陣？ 在內(nèi)積空間中討論問題 ，涉及： 空間 Cn、 Cn?n， 酉矩陣 U， UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J ? U–1 AU=J 重點 ： 理論結(jié)果 一、 Schur 分解 可逆矩陣的 UR分解 定理 （ ） A?Cn?n為可逆矩陣，則存在酉矩陣 U和主對角線上元素皆正的上三角矩陣 R， 使得 A=UR。（ 稱 A=UR為矩陣 A的酉分解 ） 證明 ：源于 Schmidt正交化方法。 例題 1 求矩陣 A的 UR分解，其中 ??????????????122171282A定理 （ ） ： 設(shè)矩陣 A?Cm?n是列滿秩的矩陣，則矩陣 A可以分解為 A=QR， 其中 Q ?Cm?n的列向量是標準正交的向量組， R ?Cn?n是主對角線上元素為正數(shù)的上三角形矩陣。 QR分解 2 、 Schur 分解 定理 （ ） 對矩陣 A?Cn?n， 存在酉矩陣 U和上三角矩陣 T， 使得
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