第3章-矩陣的分解-預覽頁
【正文】 特性 矩陣化簡的方法之一 主要技巧： 各種標準形的理論和計算方法 矩陣的分塊 167。 已知的方法 ： Gauss消元法 例題 1 （ ） 設 求 A的 LU和 LDV分解。 ? 證明過程給出了 LDV分解的一種算法。 滿秩分解的求法： 方法 1： 方法 2 例題 1（ ， eg4 ） 方法 3 例題 3（ ， eg6） 三、可對角化矩陣的譜分解 將方陣分解成用譜加權的矩陣和 譜：設 A?Fn?n ， 則 A的譜 ={?1， ?2， ? ， ?s}。 A=v1v1H+v2v2H+… vkvkH 167。 例題 1 求矩陣 A的 UR分解，其中 ??????????????122171282A定理 （ ） ： 設矩陣 A?Cm?n是列滿秩的矩陣，則矩陣 A可以分解為 A=QR， 其中 Q ?Cm?n的列向量是標準正交的向量組， R ?Cn?n是主對角線上元素為正數的上三角形矩陣。 Hermite矩陣和反 Hermite矩陣： AH=A， AH=–A 正交矩陣和酉矩陣： ATA=AAT=I， AHA=AAH=I。 推論 ：正規(guī) A?Cn?n?A有 n個標準正交的特征向量構成空間 Cn 的標準正交基。 3 ? 3 矩陣的奇異值分解 Singular value deposition (SVD) 167。 定理 3?12（ P?82） 1. 秩（ A）＝秩（ AHA） =秩（ AAH）。 正定的 Hermite矩陣 A的奇異值就是 A的特征值。 二、矩陣的奇異值分解 定理 3?14（ P?83） 任何矩陣 A?C m n，秩（ A） =r， 則存在酉矩陣 U?C m m， V?C n n， 使得 Hr21V000UA?????????????????????證明思想： AHA正規(guī)， VHAHAV= ， ?酉矩陣 V。 ?V2的列向量是空間 N（ A） 的標準正交基。 ?U2的列向量是 R ? （ A） 的標準正交基。 由于一般來講，相鄰的象素會產生相近的灰度水平值，因此有可能在滿足圖像清晰度要求的條件下，將存儲一個 m n階矩陣需要存儲的m n個數減少到 n+m+1的一個倍數。 一般的 ， k越大圖象就越清晰 。取 k=100時，圖象已經非常清晰了，這時的存儲量是 100（ 2022+1）=202200個數。 ??????3023??????????????25232325PQA?????????????23212123解
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