【正文】 r r s r sA B A B A BABA B A B A B? ? ???????? ? ???A1 1 1 2 12 1 2 2 212ssr r r sA A AA A AA A A? ? ?? ? ?? ? ???????????1 1 1 2 12 1 2 2 212ssr r r sA A AA A AA A A?????????（ 2）數(shù)乘 用數(shù) 乘一個(gè)分塊矩陣時(shí)，等于用 去乘矩陣的每一個(gè)塊，即 ???設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，分塊成 A ml? B ln?11 12 121 22 212ttr r r tA A AA A AAA A A?????????11 12 121 22 212sst t tsB B BB B BBB B B?????????其中 ， ， ， 的列數(shù)分別 1iA 2iA itA ( 1 , 2 , , )ir?等于 , , , 的行數(shù) 1jB 2 jB tjB( 1 , 2 , , )js?（ 3）分塊矩陣的 乘法 1 1 1 2 12 1 2 2 212ssr r r sC C CC C CABC C C?????????????其中 ? ?11 , 2 , , 。A B A B? ? ?TT( ) ,AA? ? ?? 為 任 意 數(shù) 。第三章 矩陣的運(yùn)算 ? 矩陣運(yùn)算 ? 特殊矩陣 ? 逆矩陣 ? 分塊矩陣 ? 初等矩陣 ? 矩陣的秩 1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m m m n m na b a b a ba b a b a bABa b a b a b? ? ?????? ? ?????? ? ???mn? ? ?ijAa?? ?ijBb? A BAB?定義 1 設(shè)有兩個(gè) 矩陣 和 ， 那么矩陣 與矩陣 的和記作 規(guī)定為 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)， 這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算 1. 矩陣的加法 一、矩陣運(yùn)算 運(yùn)算規(guī)律 （設(shè) ， ， 都是 矩陣） A B C mn?.A B B A? ? ?( ) ( ) .A B C A B C? ? ? ? ?( ) 0 .AA? ? ?其中 ， 稱(chēng)為矩陣 的負(fù)矩陣 . ? ?ijAa? ? ?A? A? ? .A B A B? ? ? ?（ 1） （ 2） （ 3） 由此可規(guī)定矩陣的減法為 定義 2 數(shù) 與矩陣 的乘積記作 或 A? A? A?1 1 1 2 12 1 2 2 212nnm m m na a aa a aAAa a a? ? ?? ? ???? ? ???????????2. 數(shù)與矩陣相乘 規(guī)定為 運(yùn)算規(guī)律 (設(shè) ， 都是 矩陣， 是數(shù) ) A B mn? ,??? ? ? ? .AA? ? ? ??? ? .A A A? ? ? ?? ? ?? ? .A B A B? ? ?? ? ??（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 0A? ? 0? ? ?當(dāng)且僅當(dāng) 或 規(guī)定 :矩陣 與矩陣 的乘積是一個(gè) 矩陣 A B mn?? ?ij mnCc ??1 1 2 2i j i j i j i s s jc a b a b a b? ? ? ?3. 矩陣的乘法 ? ?ij msAa ?? ? ?ij snBb ??定義 3 設(shè) ， 其中 .C A B?并把此乘積記作 1( 1 , 2 , , 。AA?T T T( ) 。i j j ia a i j n??即有 ( , 1 , 2 , , ) ,i j j ia a i j n? ? ?反對(duì)稱(chēng)矩陣有 該矩陣主對(duì)角線(xiàn)上的元素全為 0. TAA?如果 1 1 1 2 11 2 2 2 212nnn n n na a aa a aa a a????????????12 112 212000nnnnaaaaaa???????????反對(duì)稱(chēng)矩陣 對(duì)稱(chēng)矩陣 形式： 例 2 是對(duì)稱(chēng)矩陣 . 證明 因 是 階矩陣，且 TBB mT T T T T T( ) ( )B B B B B B??故 是 階對(duì)稱(chēng)矩陣． TBB mTBB同理， 是 階對(duì)稱(chēng)矩陣． mB mn? TBB TBB是一個(gè) 矩陣， 則 和 都 設(shè) 例 3 設(shè)列矩陣 T12( , , , )? nx x x x T 1?xx滿(mǎn)足 E n T2,??H E x x為 階單位矩陣， 證明 HT .?H H E是對(duì)稱(chēng)矩陣，且 T 2 2 212? ? ? ? nx x x x x證 首先請(qǐng)注意 T T T T T T( 2 ) 2 ( )? ? ? ?H E x x E x x是一階方陣，即一個(gè)數(shù)， H所以 是對(duì)稱(chēng)矩陣 . T2? ? ?E x x HTxx n是 階方陣 而 T 2 T 2( 2 )H H H E x x? ? ?基本性質(zhì) ： ,AB（ 1）若 都是對(duì)稱(chēng)矩陣，則 對(duì)稱(chēng)矩陣（其中 為任意常數(shù)） . ?,A B A??都是 ,AB（ 2）若 都是對(duì)稱(chēng)矩陣，則 AB 為對(duì)稱(chēng)矩陣的 .A B B A?充要條件是 T T T4 4 ( ) ( )? ? ?E x x x x x xT T T4 4 ( )E x x x x x x? ? ?TT44E x x x x E? ? ? ?定理 設(shè) ， 是兩個(gè) 階方陣，則 A B nA B A B?1 2 1 2kkA A A A A A?n1 , kAA推論 設(shè) 均為 階方陣，則 11 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AAA A A??????????稱(chēng)為矩陣 的 伴隨矩陣 ．試證 A（ 2）當(dāng) 時(shí)， 0A ? 1 .nAA ?? ?n ? ?ijAa?ijA例 4 階方陣 的各個(gè)元素的代數(shù) 余子式 所構(gòu)成的如下的矩陣 。R A n?A B? ? ? ? .R B R A?證 （ 1） 由于行列式轉(zhuǎn)置后值不變 所以 中非零子式的最高階數(shù) TA與 中非零子式的最高階數(shù)相等 A? ? ? ? .TR A R A?即 （ 2） 階方陣 可逆的充要條件 是 n A0A ?? ? .R A n?（ 3） 由于矩陣 的非零子式必是矩陣 的 B A? ? ? ? .R B R A?補(bǔ)充 ： 由（ 2）知 ， 可逆矩陣的秩等于其 階數(shù)，故可逆矩陣又稱(chēng) 滿(mǎn)秩矩陣 ．不可逆 的方陣（奇異矩陣）又稱(chēng)為 降秩矩陣 ． 由矩陣秩的定義得 一個(gè)非零子式，故 例 3 求矩陣的秩 1 2 3 12 4 6 23 0 2 1A???????????的子式的最高階數(shù)是 3 A1 2 32 4 6 ,3 0 21 2 12 4 2 ,3 0 1??解 它共有 4個(gè) 3階子式 2 3 14 6 20 2 1??1 3 12 6 2 ,3 2 1??容易算出，它們的值都為零 又 中的二階子式 A126030? ? ?故 ? ? ? 即若 ，則 ~AB? ? ? ? .R A R B?由此定理 ， 為求矩陣的秩 ， 只要把矩陣用初等行變換變成 行階梯形矩陣 ， 行階梯形矩陣 中 非零行的行數(shù) 即是該矩陣的秩 ． 定理 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩， 例 4 設(shè) 1 2 2 12 4 8 0,2 4 2 33 6 0 6A????????????????????1234b?????????????? ?B A b? ? ?RA ? ? .RB且 ，求 及 解 用初等行變換將矩陣 化為行階梯形矩陣 ， 則 即為 的行階梯形矩陣 ， 故可從 中同時(shí)求出 B? ?1 1 1,B A b? 1A A? ?1 1 1,B A b?? ? ,RA ? ? .RB1 2 2 1 12 4 8 0 22 4 2 3 33 6 0 6 4B????????????????213141223rrrrrr???????1 2 2 1 10 0 4 2 00 0 2 1 50 0 6 3 1????????????2324223rrrrr???????1 2 2 1 10 0 2 1 00 0 0 0 50 0 0 0 1??????????????3435rrr??????1 2 2 1 10 0 2 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0??????????????? ? 2,?RA ? ? ?因此 B從矩陣 的行階梯形矩陣可知 A b Ax b?本例中的 與 所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程組 是無(wú)解的．