【正文】 (2) 有等式約束泛函極值的必要條件 定理 設(shè)有如下泛函極值問題： *()xt0()m in ( ( ) , ( ) , ). . ( ( ) , ( ) , ) 0fttxtJ g x t x t t d ts t f x t x t t??? （ 6） 已知 x(t0)=x0， x(tf)=xf ,則極值曲線 應(yīng)滿足如下歐拉方程和橫截條件 0)( ?????? xFdtdxF ?0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0ft t f t tFF x t x txx??????? ? ? ?其中 ， 為拉格朗日函數(shù) ， 是待定拉格朗日乘子 。 ( ( ( ) , ( ) , , ) ) ( ( ) , ( ) , ) ( ( ) , ( ) , )TL x t x t t g x t x t t f x t x t t????() ntR? ? 橫截條件 (1) 末端時刻固定時的橫截條件 當(dāng) tf 固定時 ， 在 x(t0)=x0 固定時 ， 橫截條件為 如果末端狀態(tài)也固定 x(tf)=xf 時 ， 邊界條件退化為 x(t0)=x0，x(tf)= xf ；當(dāng)末端狀態(tài)自由時 ， 橫截條件為 0)()( ???? ? ftt txxFf??x(t0)=x0 ( ) 0fttFx ?? ??x(t0)=x0 (2) 末端時刻自由時的橫截條件 末端受約束時 ,存在如下近似關(guān)系 : 如果末端自由 ， 則曲線 c(t)不存在 。 設(shè)性能指標(biāo)為 容許軌線 x(t)與極值曲線 x*(t)之間有如下關(guān)系 （ 7） 當(dāng)末端由 (xf,tf)移動到 時 ， 產(chǎn)生如下的泛函增量 ( , )f f f fx x t t????（ 8） 將 (8)右端的第二項(xiàng)在極值曲線泰勒展開 對上式右端的第二項(xiàng)分部積分 將以上結(jié)果代入 (8)， 取增量的線性主部 ， 得泛函的變分 令 ， 得歐拉方程和橫截條件： 0J? ?（ 9） （ 10） (3) 末端時刻自由 、 末端狀態(tài)變動時的橫截條件 1) 末端狀態(tài)自由時的橫截條件 當(dāng) x(tf)自由時 ， 由 (7)可知 代入 (10)可得到 因?yàn)? 任意 ， 所以 tf自由 、 x(tf)自由的橫截 條件和邊界條件為： ,ffxt??（ 11） 2) 末端狀態(tài)受約束時的橫截條件 設(shè)受約束方程為 x(tf)=c(tf) ,由 (7)可知 代入 (11) ， 并考慮 任意 ， 得到 tf自由 、 x(tf)受約束的橫截條件和邊界條件為 ft?() ?如果 t0也自由、 x(t0)受約束，即沿著曲線 g(t)則應(yīng)滿足以下橫截條件 000****( ) ( )( ) ( )( , , ) ( ) 0( , , ) ( ) 0fffTtTtx t g tx t c tLL x x t g xxLL x x t c xx?????? ? ?????????? ? ??????() ? 例子 : (1) 求平面上給定兩點(diǎn) A(0,1),B(1,3)間的最短弧長。 (2) 若 B點(diǎn)可沿曲線 c(t)=2t 移動，求一連接 A、 B兩點(diǎn)且弧長最短的曲線 。 對于 最短弧長 問題，它是泛函 在兩端固定條件下的變分問題，歐拉方程 的解為 x=at+b 帶入邊界條件可得解 x=2t+1。 02[ ( ) ] 1fttJ x t x d t???201dxdt x??(2)屬于末端受約束的變分問題，其最短弧長滿足與 (1)相同的歐拉方程，因此 x=at+b， 因?yàn)槌跏键c(diǎn)沒有變化，所以由 x(0)=1可得 b=1. 為了確定參數(shù) a, 運(yùn)用橫截條件 ()可得 解得 a=1,因此 可知極值曲線為 . 由末端約束條件 ，可知 tf=，帶入弧長公式得到最短弧長 221 ( 1 ) 01aaaa? ? ? ? ??x=t+1 ( ) 2ffx t t??0 . 5 0 . 52002[ ( ) ] 1 1 12J x t x d t d t? ? ? ? ??? 不同邊界情況下的橫截條件 變分法解最優(yōu)控制問題 系統(tǒng)方程為 性能指標(biāo)為 末端狀態(tài) x(tf) 受約束 ， 要求的目標(biāo)集為 最優(yōu)控制問題是 ： 確定最優(yōu)控制 u*(t)和最優(yōu)曲線 x*(t)， 使得系統(tǒng) (12)由已知初態(tài) x0 轉(zhuǎn)移到要求的目標(biāo)集 (14)， 并 使性能指標(biāo) (13)達(dá)到極值 。 （ 14） （ 13） （ 12） 可以 利用拉格朗日乘子法 將上述 有約束條件的泛函極值問題化為無約束條件的泛函極值問題。 ( , , , ) ( , , ) ( ) ( , , )TH x u t L x u t t f x u t????（ 15） 再引入一個標(biāo)量函數(shù) 它稱為哈密頓（ Hamilton）函數(shù)，在最優(yōu)控制中起著重要的作用。 (1) 末端時刻固定時的最優(yōu)解 對于如下最優(yōu)控制問題： 無約束且在 [t0,tf]上連續(xù) ， .在 [t0,tf]上 ， f(.), 和 L(.)連續(xù)可微 ， tf固定 。 最優(yōu)解的必要條件為： 1) x(t)和 滿足正則方程 ,nmx R u R?? ,rR r n? ? ?(.), (.)??()t?2) 邊界條件和橫截條件 3) 極值條件 證明：構(gòu)造廣義泛函 分部積分 則 對上式取一次變分 ， 考慮到 根據(jù)泛函極值的必要條件 ， 可得到結(jié)論 。 當(dāng)末端時間 tf固定 ， 末端狀態(tài) x(tf)自由時 ， 不存在目標(biāo)集 因此 ， 該下的泛函極值只需將上述結(jié)論中的 去掉即可 。 當(dāng)末端時間 tf固定 ， 末端狀態(tài) x(tf)固定時 ， 正則方程不變 ， 邊界條件退化為 x(t0)=x0， x(tf)= xf ， 系統(tǒng)在可控的條件下 ， 極值條件也不變 。 ??本例屬于末端時刻固定 ， 末端狀態(tài)受約束的泛函極值問題 。 Hamilton函數(shù) 協(xié)態(tài)方程 極值條件 狀態(tài)方程 根據(jù)初始條件和目標(biāo)條件可求出 c3=c4=0,4c19c2=6 再根據(jù)橫截條件可求出 c1=(1/2)c2， 可求出 c1與 c2的值 。 進(jìn)而獲得最優(yōu)解 (2)末端時刻自由時的最優(yōu)解 對于如下最優(yōu)控制問題： 最優(yōu)解的必要條件為： 1) x(t)和 滿足正則方程 ()t?2) 邊界條件和橫截條件 3) 極值條件 4) 在最優(yōu)曲線末端的 Hamilton函數(shù)滿足 證明：構(gòu)造廣義泛函 當(dāng)末端由 (xf , tf)移動到 時 ， 產(chǎn)生如下的泛函增量 將上式在最優(yōu)軌線展成泰勒級數(shù)并取主部 ， 應(yīng)用中值定理并考慮 ， 可得到 ( , )f f f fx x t t????( ) ( )TTTa f f f ff f f fJ x t x tx t t x t t??? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???將 代入上式可得到 令 得到定理 的結(jié)論 。 Page562, 表 102 用變分法求最優(yōu)解的必要條件 例子 : 解：本例屬于 tf自由 ， 末端狀態(tài)固定 、 控制無約束的泛函極值問題 。 =常數(shù) ， 再由極值條件得 由狀態(tài)方程和初始條件得到 利用末態(tài)條件得到 最后根據(jù)末端時刻 H的變化率可以求得 這樣 ， 求得的最優(yōu)解為 2a ? 極小值原理及其應(yīng)用 ? 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理 ?