【正文】 第 4章 最優(yōu)控制原理與應用 最優(yōu)控制的基本概念 ?最優(yōu)控制研究的主要問題：根據(jù)已建立的被控對象的數(shù)學模型，選擇一個容許的控制率，使得被控對象按照預定的要求運行，并使給定的某一性能指標達到極小值 (或極大值 )。 ?從數(shù)學觀點來看，最優(yōu)控制研究的問題是：求解一類帶有約束條件的泛函極值問題。 最優(yōu)控制問題 ?最優(yōu)控制問題的一般提法：在滿足系統(tǒng)方程的約束條件下，在容許控制域中確定一個最優(yōu)控制律，使得系統(tǒng)狀態(tài)從已知初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的目標集，并使性能指標達到極值。 最優(yōu)控制的應用類型 I. 積分型性能指標 1. 最小時間控制； 2. 最少能量控制； 3. 最少燃料控制； II. 末值 型性能指標 III. 復合型性能指標 ? ?0( ) , ( ) ,fttJ F x t x t t d t? ?0fttJ d t? ?0 1()fmtjtjJ u t d t?? ??0( ) ( )ft TtJ u t u t d t? ?[ ( ) , ]ffJ x t t??? ?0[ ( ) , ] ( ) , ( ) ,ftff tJ x t t F x t x t t d t??? ? 用變分法解最優(yōu)控制 ? 泛函與變分 ? 歐拉方程 ? 橫截條件 ? 變分法解最優(yōu)控制問題 返回主目錄 在動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題中，性能指標是一個泛函，性能指標最優(yōu)即泛函達到極值。解決泛函極值問題的有力工具是變分法。所以下面就來列出變分法中的一些主要結(jié)果，大部分不加證明，但讀者可對照微分學中的結(jié)果來理解。 泛函與變分 如果對某一類函數(shù) 中的每一個函數(shù) ，有一個實數(shù)值 與之相對應，則稱 為依賴于函數(shù) 的泛函，記為 )(tX J? ?)(tXJ)(tX? ?)( tXJJ ?粗略來說，泛函是以函數(shù)為自變量的函數(shù)。 (函數(shù)的函數(shù) ) 泛函： 先來給出下面的一些定義。 0 ( ) , nnnx x n x x R? ? ? ? ? ?泛函的連續(xù)性： 則 l im ( ) ( )nn J x J x?? ?則線性泛函 是連續(xù)的 ， 稱 J[x]為線性連續(xù)泛函 。 ()JxnR?若對于收斂于點 x0點列 xn， 其中 x0， xn ， 均有 則稱泛函 J在 x0處連續(xù) 。 對于線性泛函 J[x],若 0l i m ( ) ( )nn J x J x?? ? 滿足下面條件的泛函稱為線性泛函 這里 是實數(shù)， 和 是函數(shù)空間中的函數(shù)。 ? ? ? ?XJXJ ?? ?)()()( YJXJYXJ ???? X Y線性泛函： 自變量函數(shù)的變分： 自變量函數(shù) 的變分 是指同屬于函數(shù)類 中兩個函數(shù) 、 之差 )(tX X?? ?)(tX )(1 tX )(2 tX)()( 21 tXtXX ??? 這里 , t 看作為參數(shù)。當 為一維函數(shù)時， 可用圖 41來表示。 )(tX X?圖 41 自變量函數(shù)的變分 這里， 是 的線性泛函， 是關(guān)于 的 高階無窮小，則 稱為泛函 J[x]的變分。 可知泛函變分就是泛函增量的線性主部。 X? 當自變量函數(shù) 有變分 時， 泛函的增量為 )(tX X?? ? ? ?,L X X r X X????? ? ? ?XJXXJJ ???? ? 泛函的變分： ? ?,L X X? ? ?,r X X? X?? ?,J L X X???當一個泛函具有變分時，也稱該泛函可微。和函數(shù)的微分一樣，泛函的變分可以利用求導的方法來確定。 定理 設(shè) J[x]是線性賦范空間 Rn上的連續(xù)泛函， 若在 x= x0處 J[x]可微，則 J[x]的變分為 0 0 0[ , ] [ ] , 0 1J x x J x x ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ??證明 : 由于 是 的線性連續(xù)泛函 ， 又因為 是 的高階無窮小 ， 000000000[ ] [ ][ ] l im1 = l i m { [ , ] [ , ] } = [ , ]J x x J xJ x xL x x r x xJ x x?????????? ? ? ??????????????泛函變分的規(guī)則 1 2 1 21 2 2 1 1 2( 1 ) ( )( 2 ) ( )( 3 ) [ , , ] [ , , ]( 4 )bbaaL L L LL L L L L LL x x t d t L x x t d td x dxd t d t? ? ?? ? ?????? ? ???????舉例： 可見 ， 計算泛函的變分如同計算函數(shù)的微分一樣 。 泛函的極值： 若存在 ，對滿足的 一切 X， 具有同一符號，則 稱 在 處有極值 (極大值或極小值 )。 0????? *XX )()( *XJXJ ?)(XJ *XX ?定理 (變分預備定理 )：設(shè) 是時間區(qū)間 [t0, t1]上連續(xù)的 n維向量函數(shù)， 是任意的連續(xù) n維向量函數(shù)，且有 ，若 10( ) ( ) 0t Ttt t d t?? ??則必有 ()t?()t?01( ) ( ) 0tt?? ??01( ) 0 , [ , ]t t t t? ? ? ? 歐拉方程 假定 t0與 tf 給定，且初態(tài)與末態(tài)兩端固定。 (1) 無約束泛函極值的必要條件 定理 設(shè)有如下泛函極值問題： *()xt? ?0()m i n ( ) , ( ) ,fttxtJ F x t x t t d t? ? （ 1） 已知 x(t0)=x0 x(tf)=xf ,則極值曲線 應滿足如下歐拉方程 0)( ?????? xFdtdxF ?（ 2） 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0ft t f t tFF x t x txx??????? ? ? ?（ 3） 及橫截條件 )()()( * txtxtx ???)()()( * txtxtx ??? ???于是泛函 J 的增量 可計算如下（以下將 *號省去） J?? ? ? ?? ? dttxxFtxxxxFJ ftt ,0??? ????? ? ??022( ) , ( )fttFF x x o x x d txx? ? ? ????? ??? ? ??? ???????上式中 是高階項。 22[ ( ) , ( ) ]o x x??證明： 與 之間有如下關(guān)系 )(tx )(tx? 根據(jù) 定義，泛函的變分 是 的線性主部，即 J? J?? ?????? ?????? ftt dtxxFxxFJ 0 ?? ???? ???f fftt tttt vd uuvu d v0 00對上式第二項作分部積分，按公式 可得 ? ????????? ?????? ffttttxxFx d txFdtdxFJ00)( ??? ??（ 4） J取極值的必要條件是 等于零。因 是任意的，要使（ 32）中第一項（積分項）為零，必有 J? x?0)( ?????? xFdtdxF ?（ 5） （ 4）式中第二項即為結(jié)論中的式 (3). ?舉例： 利用上面的結(jié)論求得