判定平行四邊形五種方法-文庫(kù)吧
2025-07-21 03:35 本頁(yè)面
【正文】 。又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四邊形ABDF是平行四邊形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60176。∴AB∥DF，BD∥AF∵四邊形ABDF是平行四邊形。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)四邊形兩組對(duì)邊分別被第三邊所截，易證截得的同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁?xún)?nèi)角相等時(shí)，可證四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，從而四邊形是平行四邊形。二、 一組對(duì)邊平行且相等例2 已知：如圖2，在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CG，連結(jié)BG并延長(zhǎng)交DE于F(1)求證：△BCG≌△DCE； (2)將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到△DAE′，判斷四邊形E′BGD是什么特殊四邊形？并說(shuō)明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通過(guò)旋轉(zhuǎn)CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，這樣就有BE′=GD，可證E′BGD是平行四邊形。解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90176。又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四邊形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴ABAE′=CDCG，即BE′=DG∴四邊形DE′BG是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：當(dāng)四邊形一組對(duì)邊平行時(shí)，再證這組對(duì)邊相等，即可得這個(gè)四邊形是平行四邊形三、 兩組對(duì)邊分別相等例3 如圖3所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD，等邊△ACE，等邊△BCF。求證：四邊形DAEF是平行四邊形；分析：利用證三角形全等可得四邊形DAEF的兩組對(duì)邊分別相等，從而四邊形DAEF是平行四邊形。解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60176?！唷螪BF=∠ABC又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC∴AB=EF=AD∴四邊形ADFE是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：題設(shè)中存在較多線段相等關(guān)系時(shí)，可證四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，從而可證四邊形是平行四邊形。四、 對(duì)角線互相平分例4已知：如圖4，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。圖4分析：因?yàn)轭}設(shè)條件是從四個(gè)頂點(diǎn)向?qū)蔷€引垂線，這些條件與四邊形EFGH的對(duì)角線有關(guān)，若能證出OE=OG，OF=OH，則問(wèn)題可獲得解決。證明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四邊形EFGH是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知條件與四邊形兩對(duì)角線有關(guān)時(shí)，可證兩對(duì)角線互相平分，從而證四邊形是平行四邊形。五、 兩組對(duì)角相等例5 將兩塊全等的含30176。角的三角尺如圖1擺放在一起 四邊形ABCD是平行四邊形嗎？理由 。(1)如圖2，將Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由： 。分析：因?yàn)轭}設(shè)與四邊形內(nèi)角有關(guān)，故考慮四邊形的兩組內(nèi)角相等解決問(wèn)題。解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：∠ABC=∠ABD+∠DBC=30176。+90176。=120176。，∠ADC=∠ADB+∠CDB=90176。+30176。=120176。又∠A=60176。，∠C=60176。，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C（2）四邊形ABC1D1是平行四邊形，理由如下：將Rt△BCD沿射線方向平移到Rt△B1C1D1的位置時(shí)，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB所以四
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