心理統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章-文庫吧
2025-07-20 16:26 本頁面
【正文】 平均數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)一：一組變量值的和等于變量的個(gè)數(shù)與其平均數(shù)的乘積，即證明性質(zhì)二：一組變量值的離均差之和等于零，即證明又 性質(zhì)三：在一組變量值中，每個(gè)變量值加上或減去、乘以或除以常數(shù)，所得的平均數(shù)等于原平均數(shù)減去或加上，除以或乘以常數(shù)。性質(zhì)四：一組變量值的離均差平方和最小，即最小證明：設(shè)為任意常數(shù)，且，則有＞第二節(jié) 中位數(shù)一群數(shù)據(jù)的集中趨勢，除了可以用平均數(shù)來描述外，還可用其它數(shù)量表示。中位數(shù)就是其中的一種。一、 一、 中位數(shù)的意義中位數(shù)（Median）又稱中點(diǎn)數(shù)，簡稱中數(shù)，用符號或表示。中位數(shù)是位于按一定順序排列的一組數(shù)中央位置的數(shù)值，它是把一組數(shù)據(jù)按次數(shù)劃分為兩半，即在中位數(shù)上下的數(shù)據(jù)分布各占一半。例如有一組數(shù)據(jù)為3 ， 5，6，7，10，位于中央位置的數(shù)是6，而在它兩側(cè)各有兩個(gè)數(shù)據(jù)分布。二、 二、 中位數(shù)的計(jì)算中位數(shù)的計(jì)算因數(shù)據(jù)形式不同而有不同方法，大致可分為原量數(shù)（即原始數(shù)據(jù)）計(jì)算法和次數(shù)分布計(jì)算法。（一）原量數(shù)的計(jì)算法在一組原始數(shù)據(jù)中，要確定中數(shù)又需分兩種情況進(jìn)行。一是考慮數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是（N）是奇數(shù)還是偶數(shù)，二是考察靠近中數(shù)附近有無重復(fù)的數(shù)據(jù)（不在中數(shù)附近的重復(fù)數(shù)不作考慮）。1． 1． 中數(shù)附近無重復(fù)數(shù)時(shí)當(dāng)中數(shù)附近無重復(fù)數(shù)時(shí)，視該組數(shù)據(jù)的奇偶性分別進(jìn)行。若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（N）為奇數(shù)時(shí)，先將數(shù)據(jù)從小到大排列順序；再求中數(shù)的位置數(shù)，即；最后再由位置數(shù)確定中數(shù)。 例如有7個(gè)按大小順序排列的數(shù)據(jù)2，5，7，9，11，12，15，其位置數(shù)為，即該數(shù)列中處于第四個(gè)位置的數(shù)就是中數(shù)，該中數(shù)為9。若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（N）為偶數(shù)時(shí)，同樣需將數(shù)據(jù)從小到大排列順序，再求中數(shù)，即式中的和為位置數(shù)，根據(jù)位置數(shù)確定兩個(gè)中間值，再求其平均數(shù)，該平均數(shù)即為中數(shù)。例如有10個(gè)數(shù)據(jù)18，22，11，15，19，23，12，17，16，26。先按大小順序排列數(shù)據(jù)11，12，15，16，17，18，19，22，23，26，則其中數(shù)為也就是說，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中數(shù)是位于中間位置的量數(shù)；數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中數(shù)是位于中間位置兩個(gè)量數(shù)的平均數(shù)。2． 2． 中數(shù)附近有重復(fù)數(shù)時(shí)當(dāng)中數(shù)附近有重?cái)?shù)時(shí)，確定方法較為復(fù)雜，需考慮重復(fù)數(shù)的影響。例如有11個(gè)數(shù)據(jù)2，3，4，4，6，9，9，9，10，14，17，若按奇數(shù)法確定中數(shù)則為第六個(gè)位置的數(shù)9。但是9共有三個(gè)，那么究竟哪一個(gè)點(diǎn)恰好是第一個(gè)9的中點(diǎn)值呢。我們可以假定9為連續(xù)數(shù)據(jù)，～，即在這個(gè)數(shù)據(jù)段中均勻分布著3個(gè)9，每一個(gè)9占數(shù)據(jù)段的1/3，各段的值圖31所示。因?yàn)橹袛?shù)在第一個(gè)9上。 第一個(gè)9 第二個(gè)9 第三個(gè)9 圖31 重復(fù)數(shù)9的分布上述結(jié)果也可以通過計(jì)算獲得，其公式為式中為數(shù)值9的精確下限，為數(shù)據(jù)的重復(fù)個(gè)數(shù)，為可能的中數(shù)（此處為9）以下的累積次數(shù)，中數(shù)所在位置，所以上列為 若數(shù)據(jù)經(jīng)整理形成了次數(shù)分布表，則求其中數(shù)的公式為 （用于由低分組向高分組累積次數(shù)時(shí)） （用于由高分組向低分組累積次數(shù)時(shí)）式中為中數(shù)所在組的精確下限，為中數(shù)所在組的精確上限；為中數(shù)所在組次數(shù)；為中數(shù)所在組以下的累積次數(shù)，為中數(shù)所在組以上的累積次數(shù)；用于確定中數(shù)所在的組，根據(jù)在累積次數(shù)欄尋找包含的累積次數(shù)，其對應(yīng)組即為中數(shù)所在組。如例34，求其中數(shù)。表33 中數(shù)計(jì)算表組別858935738084854117579134624707415333965699184860646954555923565054115757—— 分析過程 ① 求累積次數(shù)，由下往上累加或由上往下累加。② 確定中數(shù)位置。本例為57，則有。③ 。，所以中數(shù)所在組為7074。④ 確定公式中各符號的內(nèi)容，有，，，⑤代入公式計(jì)算中數(shù)解法一： 解法二 閱讀材料：百分位數(shù)和四分位數(shù)中位數(shù)是一群數(shù)據(jù)最居中間的數(shù)，即50%位置上的數(shù)，它是百分位數(shù)（Percentile）的特例之一。除了可以確定一組數(shù)據(jù)50%位置上的數(shù)以外，還可以確定任一百分位置上的數(shù)。假設(shè)任意一個(gè)百分位為 ，根據(jù)中數(shù)公式則可推出百分位數(shù)的公式，即有求例34次數(shù)分布表中30%和85%位置上的數(shù)，計(jì)算步驟如下。 ① 確定百分位置及百分位數(shù)所在的組。30%的位置為，其所在組為6569；85%的位置為 ，其所在組為8084。② 確定有關(guān)數(shù)值30%時(shí)：，， 85%時(shí)：，，結(jié)果表明有30%的人其測驗(yàn)分?jǐn)?shù)低于69分，或者說分?jǐn)?shù)低于69分的人占30%.，換句話說高于69分的人占70%。同理，低于81分的人占85%，或高于此分?jǐn)?shù)的人僅占19%。百分位數(shù)在教育測量和心理測量中用于百分量表的建立。百分位數(shù)的另一特殊情況是四分位數(shù)，即四分之一位置和四分之三位置上的數(shù)，其公式為第三節(jié) 眾數(shù)一、 一、 眾數(shù)的定義眾數(shù)（Mode）是指一群數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值，又稱范數(shù)，用符號表示。例如有一組數(shù)據(jù)3，5，8，10，10，10，11，15，15，16，其眾數(shù)為10，因?yàn)樵谶@組數(shù)據(jù)中10出現(xiàn)的次數(shù)最多。二、 二、 眾數(shù)的確定方法眾數(shù)的確定方法大致分為觀察法和計(jì)算法兩種。（一）觀察法對于一群數(shù)量較少原始數(shù)據(jù)可以根據(jù)眾數(shù)的定義直接采用觀察法來確定眾數(shù)，即以次數(shù)最多的數(shù)值為眾數(shù)。如果數(shù)據(jù)經(jīng)過整理形成了次數(shù)分布表，則可以確定次數(shù)最多一組的組中值為眾數(shù)，如例34
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