1賽課求曲線方程專題復(fù)習(xí)課-文庫吧
2025-07-20 07:29 本頁面
【正文】 于 B，求線段 AB中點(diǎn) M的軌跡方程． 解： 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ， ∵ M 是線段 AB 的中點(diǎn)， ∴ A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2 x, 0) ， B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 0,2 y ) ． ∴ PA→＝ (2 x － 2 ，－ 4) ， PB→＝ ( － 2,2 y － 4) ． 由已知 PA→ PB→＝ 0 ， ∴ － 2( 2 x － 2) － 4( 2 y － 4) ＝ 0 ， 即 x ＋ 2 y － 5 ＝ 0. ∴ 線段 AB 中點(diǎn) M 的軌跡方程為 x ＋ 2 y － 5 ＝ 0. ? 【 例 1】 下列說法正確的是 ( ) ? A．在△ ABC中，已知 A(1,1)， B(4,1)，C(2,3)，則 AB邊上的高的方程是 x＝ 2 ? B．方程 y＝ x2(x≥0)的曲線是拋物線 C ．已知平面上兩定點(diǎn) A 、 B ，動點(diǎn) P 滿足 | PA |－ | PB |＝12| AB |，則 P 點(diǎn)的軌跡是雙曲線 D ．第一、三象限角平分線的方程是 y ＝ x ? 解析： 選項(xiàng) A符合曲線與方程概念 (1)曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)均是這個(gè)方程的解，不符合 (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)均是曲線上的點(diǎn)．選項(xiàng) B符合 (2)但不符合 (1)．選項(xiàng) C符合 (2)但不符合 (1)．選項(xiàng) D符合 (1)、(2)．故選 D. ? 答案： D. ? 要知方程是否是曲線的方程、曲線是否是方程的曲線，必須對照概念檢查兩個(gè)條件是否都滿足： (1)曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足方程； (2)適合方程的所有點(diǎn)均在曲線上 . ? 變式遷移 1 圖下面的方程為對應(yīng)圖中曲線的方程的是 ( ) ? 解析： A、 B兩項(xiàng)中，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不都在曲線上，而 D項(xiàng)中曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)不都滿足方程． ? 答案： C 【例 2 】 (2022 寧夏、海南卷 ) 已知橢圓 C 的中心為直角坐標(biāo)系 x Oy 的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是 7 和 1. (1) 求橢圓 C 的方程； (2) 若 P 為橢圓 C 上的動點(diǎn)， M 為過 P 且垂直于 x軸的直線上的點(diǎn)，| OP || OM |＝ λ ，求點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 思路分析： 第 ( 1) 問可根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)解 決；第 ( 2) 問設(shè)出點(diǎn) M 的坐標(biāo) ( x ， y ) ，根據(jù)幾何條件| OP || OM |＝ λ 直接將坐標(biāo)代入即可． 解： ( 1) 設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為 a ， c ，由已知得 ????? a － c ＝ 1 ，a ＋ c ＝ 7 ，解 得 a ＝ 4 ， c ＝ 3 ， 所以橢圓 C 的標(biāo) 準(zhǔn)方程為x216＋y27＝ 1. (2) 設(shè) M ( x ， y ) ，其中 x ∈ [ － 4,4] ．由已知| OP |2| OM |2 ＝ λ2及點(diǎn) P 在橢圓 C 上可得9 x2＋ 1 1216 ( x2＋ y2)＝ λ2，整理得 (16 λ2－ 9) x2＋ 16 λ2y2＝ 1 12 ，其中 x ∈ [ － 4,4] ． ① λ ＝34時(shí)，化簡得 9 y2＝ 1 12 ， 所以點(diǎn) M 的軌跡方程為 y ＝ 177。4 73( － 4 ≤ x ≤ 4) ，軌跡是兩條平行于 x 軸的線段． ② λ ≠34時(shí)，方程變形為
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