【正文】 ? ?? ? ? ? ? ?牛頓插值公式 ( ) ( ) [ , ]( )0 0 1 0f x f x f x x x x? ? ? [ , , ] ( ) ( )0 1 2 0 1f x x x x x x x? ? ? ?[ , , , ] ( ) ( ) ( )0 1 n 0 1 n 1f x x x x x x x x x ?? ? ? ?[ , , , , ] ( ) ( ) ( )0 1 n 0 1 nf x x x x x x x x x x? ? ? ?例 2：已知 求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項(xiàng)式。 解：在例 1中，我們已計(jì)算出 則牛頓三次插值多項(xiàng)式為 1 3 4 7 0 2 15 12 ix()ifx( ) , [ , ] , [ , , ] , [ , , , ] .0 0 1 0 1 2 0 1 2 3f x 0 f x x 1 f x x x 4 f x x x x 1 25? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )3N x 0 x 1 4 x 1 x 3 1 25 x 1 x 3 x 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?牛頓插值公式 例 3：已知 在六個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值如下表，運(yùn)用牛頓型插值多項(xiàng)式求 的近似值。 欲求 ，只需在 之后再加一項(xiàng)： 故 一階均差 二階均差 三階均差 四階均差 五階均差 ()fx ( . )f 0 596kx ()kfx kxx?( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )2 0 0 1 0 0 1 2 0 1N x f x f x x x x f x x x x x x x? ? ? ? ? ?( . ) . . . . . . .2N 0 596 0 41075 1 1160 0 196 0 28 0 196 0 046 0 632022? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )3 2 0 1 2 3 0 1 2N x N x f x x x x x x x x x x? ? ? ? ?( . ) . . . . ( . ) . . . . . . .3N 0 5 9 6 0 6 3 2 0 1 0 0 1 9 7 0 0 1 9 6 0 0 4 6 0 0 5 4 0 6 3 1 9 1 4 5? ? ? ? ? ? ?()4Nx ()3Nx[ , , , , ] ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( . ) ( . ) . 60 1 2 3 4 0 1 2 3f x x x x x x x x x x x x x 0 0 3 4 4 0 1 9 6 0 0 4 6 0 0 5 4 0 2 0 4 3 4 1 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) . . .4N x 0 6319145 0 0000034 0 6319179? ? ?最小二乘法 最小二乘法 ? 通過(guò)觀測(cè)、測(cè)量或試驗(yàn)得到某一函數(shù)在的函數(shù)值。我們可以用插值的方法對(duì)這一函數(shù)進(jìn)行近似 ,而插值方法要求所得到的插值多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)已知的這 n個(gè)插值結(jié)點(diǎn) 。在 n比較大的情況下 ,插值多項(xiàng)式往往是高次多項(xiàng)式 ,這也就容易出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象 :雖然在插值結(jié)點(diǎn)上沒(méi)有誤差 ,但在插值結(jié)點(diǎn)之外插值誤差變得很大 ,從 “ 整體 ” 上看 ,插值逼近效果將變得 “ 很差 ” 。于是 ,我們采用數(shù)據(jù)擬合的方法。 ? 所謂數(shù)據(jù)擬合是求一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù) , 不要求通過(guò)已知的這 n個(gè)點(diǎn) ,而是要求在整體上“ 盡量好 ” 的逼近原函數(shù)。這時(shí) ,在每個(gè)已知點(diǎn)上就會(huì)有誤差 ,數(shù)據(jù)擬合就是從整體上使誤差 , 盡量的小一些。 ()x? ? ?21()n kkkQ y x??????(x) y1 ?(x2) ?(x3) ? (xn1) y2 y3 yn1 yn ?(xn) x1 x2 x3 …… xn1 xn 求一個(gè)低次多項(xiàng)式 ,使得 達(dá)到最小 ,此問(wèn)題便是一個(gè)數(shù)據(jù)擬合的最小二乘問(wèn)題。 直線擬合（一次函數(shù)） 1 1 2 2( , ), ( , ),x y x y , ( , )nnxy ()x a bx? ??? ? ? ?2211( , ) ( )nnk k k kkkQ a b y x y a b x???? ? ? ? ???已知數(shù)據(jù) ,求一個(gè)一次多項(xiàng)式 （實(shí)際上，就是求 a,b） ,使得 達(dá)到最小。 利用高等數(shù)學(xué)中求二元函數(shù)極小值 (最小值 )的方法，上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解下列方程組 ( , ) 0( , ) 0Q a baQ a bb?? ??? ???? ?? ??? ? 21( , ) n kkkQ a b y a b x?? ? ??11( , ) 2 ( ) 0( , ) 2 ( ) 0nkkknk k kkQ a b y a bxaQ a b y a bx xb???? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ????1nka na???11nnkkkkbx a x?????1121 1 1nnkkkkn n nk k k kk k kn a x b yx a x b x y??? ? ?? ???????? ? ??? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ????? ? ?因?yàn)? , ,得到如下的正則方程組 y a bx??2 4 4 5 6 75 3 2 kkxy? 2, , ,k k k k kx x y x y? ? ? ?22 5 4 104 16 144 3 16 12 5 25 12 13 2 6 36 9 7 49 50 25 k k k k kx y x x y?10 50 2550 abab?????????? ??6 .4 3 8 3 0 .7 8 7 7yx??已知 10對(duì)數(shù)據(jù)如下表 ,利用最小二乘法求擬合曲線 解：先列表來(lái)計(jì)算四個(gè) ： 形成方程組 解得 ， 于是，最小二乘擬合一次函數(shù)為 1121 1 1nnkkkkn n nk k k kk k kn a x b yx a x b x y??? ? ?? ???????? ? ??? ? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ?方程求根 方程求根 ? 如果 f(x)是多項(xiàng)式 ,稱此方程為代數(shù)方程 ,若 f(x)是超越函數(shù) ,就稱 f(x)=0為超越方程。一般一次方程稱為線性方程 ,而二次以上的代數(shù)方程或超越方程稱為非線性方程。對(duì)于一次、二次代數(shù)方程 ,我們可以求出精確解 ,而對(duì)于三次以上的代數(shù)方程和超越方程 ,我們沒(méi)有通用的技術(shù)來(lái)求出精確解 ,這就需要數(shù)值方法來(lái)求出方程的近似解。 ? 分離區(qū)間 許多方程往往有兩個(gè)以上的根 ,在某個(gè)區(qū)間[a,b]上 ,如果方程在此區(qū)間內(nèi)只含一個(gè)根 ,我們稱此區(qū)間為方程的分離區(qū)間。 方程求根 ? 如果 f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù) ,滿足 f(a).f(b)0,即兩個(gè)端點(diǎn)值異號(hào) ,且 f(x)在區(qū)間 [a,b]上嚴(yán)格單調(diào) ,則利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ,可知 f(x)在區(qū)間 [a,b]上存在唯一的零點(diǎn) ,其幾何意義如下圖 : a b x* f(a) f(b) a b x* f(a) f(b) 二分法 ? ?,ab ( ) ( ) 0f a f b?? 1 ()2k k kx a b?? ()kfx( ) ( ) 0kkf a f x??計(jì)算過(guò)程 :尋找一個(gè)分離區(qū)間 ,要求 ,取中點(diǎn) ,計(jì)算 如 ? ?11,kkab?? ? ?,kkax ? ?11,kkab?? ? ?,kkxb 則 : ＝ 。否則 : ＝ ? ? ? ? ? ?11, , ,nna b a b a b?? * 1 ()2n n nx x a b? ? ?得一個(gè)區(qū)間序列 , * 11 ()2n nx x b a?? ? ? ()kfx ??* kxx?誤差估計(jì) : ,中間要轉(zhuǎn)出循環(huán)的可能是 , 如 時(shí) ,此時(shí)轉(zhuǎn)出循環(huán) 二分法迭代次數(shù) : 1ln( ) ln( )1 ln 2ban ????? 特點(diǎn) :簡(jiǎn)便、易掌握、對(duì) ()fx 的要求不高 ,但收斂較慢 二分法 20xxe??( ) 2 xf x x e?? 1( 1 ) 2 0fe ?? ? ? ? ?(0) 1 0f ??求方程 的實(shí)根 , 精確到 。 , , 解 : * 1 1 1 11 ( ) 0 . 3 5 1 8 0 6 62x a b? ? ? ?121 0 .0 0 0 2 42R ??411( ) 10fx ?? ? ? 則 : 誤差為 : 迭代法 ( ) 0fx? ()xx??( ) 1x??? ?? ()x?1 ()nnxx?? ? 0,1, 2,n ? 1nnxx ?? ??1)迭代法的構(gòu)造 :將方程 等解的轉(zhuǎn)化為 : 收斂要求 : ,因此構(gòu)造 2) 迭代格式 : ,當(dāng) 時(shí) , 迭代中止。 時(shí)要適當(dāng)選取。 2 cos 0xx?? ? ?0, ,在 內(nèi)只有 一個(gè)根 ,求此根 ,精確到 : 1 cos2xx? 1( ) cos2xx? ? ? ? 11s i n 122xx? ? ? ? ? ?cosx解 : , , ,故用簡(jiǎn)單迭代時(shí)收斂的。 注意 :這兒 只能用弧度不能用角度。 0 ? 0 1x ? 1 ?1 1 c o s 0 . 5 0 . 4 3 8 7 9 1 22x ?? 211 c o s 0 .4 5 2 6 3 2 92xx?? 321 c o s 0 .4 4 9 6 4 9 32xx??431 c o s 0 .4 5 0 2 9 9 72xx?? 541 c o s 0 .4 5 0 1 5 8 3xx?? 651 c o s 0 .4 5 0 1 8 9 12xx??65 0 .0 0 0 0 3 0 8xx??取 (如取 ,則 ) 精確解為 : * 0 .4 5 0 1 8 3 6x ? 因 32 0 .0 0 3 0xx?? ,已滿足要求了 牛頓迭代法 ? ?? ?1 , 0 , 1 , 2 ,nnnnfxx x nfx? ? ? ??[ , ]ab ? ? ? ? 0f a f b ? 0x? ? ? ?00 0f x f x?? ?1)迭代公式 : 2)初始值的選取 : 內(nèi)滿足 ,要使選取 使得 : ? ?,ab ? ?fx ? ?,ab? ?fx? ? ?fx??3)收斂條件 :選取 使 在 內(nèi)有根。 不為零 , 不變號(hào) 32 1 1 0xx? ? ? ? ?1,2例： 用牛頓法求方程 在 上的近似根 ? ? 232f x x x? ?? ? ?? ? 3 2 3 21 221 1 2 1 13 2 3 2n n n n nn n nn n n n nfx x x x xx x xf x x x x x?? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ?1 1 1 1 1 0f ? ? ? ?? ?2 8 4 1 2 0f ? ? ? ?? ? 60f x x?? ??解 : ,迭代公式為 : ? ?1,2 0 2x ? ? ?? ?01001 . 9 3 7 5fxxx fx? ? ?? ? ?? ?12111 . 9 3 5 7 0 9 7fxxx fx? ? ??? ?? ?23221 . 9 3 5 7 0 8 2fxxx fx? ? ??32 0 .0 0 0 0 0 1 5xx?? * 3 1 . 9 3 5 7 0 8 2xx???在 內(nèi) ,故選取 達(dá)到精度要求。 弦截法 0x ? ? ? ?00 0f x f x?? ?1x