【正文】 112 224 4 1 4 1TTT ? ??? ? ???3 ( 1 ) ( 0 ) 3( 0 ) 223 334 4 1 4 1TTT ? ??? ? ??? 0 . 6 8 3 9 0 . 7 4 7 2 0 . 7 4 6 9 0 . 7 4 69 0 . 7 3 1 4 0 . 7 4 6 9 0 . 7 4 6 9 0 0 . 7 4 3 0 0 . 7 4 6 9 0 0 0 . 7 4 5 9 0 0 0T???????解： 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 歐拉法 0 1y ?? ?1 0 0 0, 1 0 . 2 0 1y y h f x y? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 1, 1 0 . 2 2 0 . 2 1 0 . 9 2y y h f x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 2 2 2, 0 . 9 2 0 . 2 2 0 . 4 0 . 9 2 0 . 7 7 2 8y y h f x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?4 3 3 3 3 3, 0 . 7 7 2 8 0 . 2 2 0 . 5 8 7 3 2 8y y h f x y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?5 4 4 4 4 4 4, 0 . 2 2 0 . 3 9 9 3 8 3y y h f x y y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?6 5 5 5 5 5 5, 0 . 2 2 0 . 2 3 9 6 2 9 8y y h f x y y x y? ? ? ? ? ? ?? ?2 0 1 .201y x y xy? ? ? ? ??????? ?步長 kx ky ? ?kyx ke 00 0 60 78 94 39 2 20 0 52 14 37 67 9 72 8 97 67 63 75 1 87 32 8 27 29 24 60 0 99 38 3 67 87 94 31 5 39 6 298 36 92 77 02 7 改進(jìn)歐拉方法 例：? ?2 0 1 .201y x y xy? ? ? ? ??????? 解：0 1 , ?? (1) 、? ?1 0 0 021y y h x y? ? ? ? ? ?1 0 0 0 1 12 2 0 . 9 62hy y x y x y? ? ? ? ? (2) 、? ?2 1 1 12 0 . 8 8 3 2y y h x y? ? ? ? ? ?2 1 1 1 2 22 2 0 . 8 5 0 9 4 42hy y x y x y? ? ? ? ? (3) 、? ?3 2 2 22 0 . 7 1 4 7 9 2 9y y h x y? ? ? ? ? ?3 2 2 2 3 32 2 0 . 6 9 7 0 9 3 32hy y x y x y? ? ? ? ? (4) 、? ?4 3 3 32 0 . 5 2 9 7 9 0 9y y h x y? ? ? ? ? ?4 3 3 3 4 42 2 0 . 5 2 8 6 7 5 52hy y x y x y? ? ? ? ? (5) 、? ?5 4 4 42 0 . 3 5 9 4 9 9 3y y h x y? ? ? ? ? ?5 4 4 4 5 52 2 0 . 3 7 2 1 8 8 72hy y x y x y? ? ? ? ? (6) 、? ?6 5 5 52 0 . 2 2 3 3 1 3 2y y h x y? ? ? ? ? ?6 5 5 5 6 62 2 0 . 2 4 4 1 5 5 72hy y x y x y? ? ? ? ? kx ky ? ?kyx ke 0 . 2 0 . 9 6 0 . 9 6 0 7 8 9 4 47 . 8 9 1 0 ?? 0 . 4 0 . 8 5 0 9 4 4 0 . 8 5 2 1 4 3 7 31 .2 0 1 0 ?? 0 . 6 0 . 6 9 7 0 9 3 3 0 . 6 9 7 6 7 6 3 45 . 8 3 1 0 ?? 0 . 8 0 . 5 2 8 6 7 5 5 0 . 5 2 7 2 9 2 4 31 .3 8 1 0 ?? 1 . 0 0 . 3 7 2 1 8 8 7 0 . 3 6 7 8 7 9 4 34 .3 1 1 0 ?? 1 . 2 0 . 2 4 4 1 5 5 7 0 . 2 3 6 9 2 7 7 37 . 2 3 1 0 ?? 1 1 2 3 41213243( 2 26( , )11( , )2211( , )22( , )iiiiiiiiiihy y k k k kk f x yk f x h y hkk f x h y hkk f x h y hk??? ? ? ? ???????? ? ????? ? ???? ? ???）? ?? ?? ?1 1 2 3 401 0 0 0002 0 0 1 0 10103 0 0 2 0 20204 0 0 3 0 30( 2 262,122, 18 18 182 2 2222, 08 63 752 2 222,nnhy y k k k kxK f x y yyhxh h hK f x y K y KhyKhxh h hK f x y K y KhyKxhK f x h y hK y hKy hK?? ? ? ? ?? ? ? ???????? ??? ? ? ? ? ? ????????????? ??? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ??）3 43 23 99( 0) 1y?????????????????????????? ?201dy xydx yy? ????? ???例：初值問題 用四階古典 Runge－ Kutta方法， 龍格 — 庫塔法 。 稱超松弛。否則 : ＝ ? ? ? ? ? ?11, , ,nna b a b a b?? * 1 ()2n n nx x a b? ? ?得一個區(qū)間序列 , * 11 ()2n nx x b a?? ? ? ()kfx ??* kxx?誤差估計(jì) : ,中間要轉(zhuǎn)出循環(huán)的可能是 , 如 時 ,此時轉(zhuǎn)出循環(huán) 二分法迭代次數(shù) : 1ln( ) ln( )1 ln 2ban ????? 特點(diǎn) :簡便、易掌握、對 ()fx 的要求不高 ,但收斂較慢 二分法 20xxe??( ) 2 xf x x e?? 1( 1 ) 2 0fe ?? ? ? ? ?(0) 1 0f ??求方程 的實(shí)根 , 精確到 。 3. n階均差：遞歸地用 n1階均差來定義 n階均差， 稱為 f(x)關(guān)于 n+1個節(jié)點(diǎn) 的均差。 其幾何意義是已知平面上兩點(diǎn) ,求一條直線過該已知兩點(diǎn)。 ? ?( ) 0 ,ikl x k i?? ()ilx 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i nx x x x x x x x??? ? ? ?0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i nl x a x x x x x x x x??? ? ? ? ?( ) 1iilx ?0 1 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )i i ni i i i i i i nx x x x x x x xlxx x x x x x x x??? ? ? ??? ? ? ?()nPx()nPx01( ) , ( ) , , ( )nl x l x l x01, , , ny y y0 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n n k kkP x y l x y l x y l x y l x?? ? ? ? ? ?()n i iP x y? ? ?0,1, ,in?拉格朗日型 n次插值多項(xiàng)式 例 3．求過點(diǎn) (2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項(xiàng)式。 利用高等數(shù)學(xué)中求二元函數(shù)極小值 (最小值 )的方法，上述問題轉(zhuǎn)化為求解下列方程組 ( , ) 0( , ) 0Q a baQ a bb?? ??? ???? ?? ??? ? 21( , ) n kkkQ a b y a b x?? ? ??11( , ) 2 ( ) 0( , ) 2 ( ) 0nkkknk k kkQ a b y a bxaQ a b y a bx xb???? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ????1nka na???11nnkkkkbx a x?????1121 1 1nnkkkkn n nk k k kk k kn a x b yx a x b x y??? ? ?? ???????? ? ??? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ????? ? ?因?yàn)? , ,得到如下的正則方程組 y a bx??2 4 4 5 6 75 3 2 kkxy? 2, , ,k k k k kx x y x y? ? ? ?22 5 4 104 16 144 3 16 12 5 25 12 13 2 6 36 9 7 49 50 25 k k k k kx y x x y?10 50 2550 abab?????????? ??6 .4 3 8 3 0 .7 8 7 7yx??已知 10對數(shù)據(jù)如下表 ,利用最小二乘法求擬合曲線 解：先列表來計(jì)算四個 ： 形成方程組 解得 ， 于是，最小二乘擬合一次函數(shù)為 1121 1 1nnkkkkn n nk k k kk k kn a x b yx a x b x y??? ? ?? ???????? ? ??? ? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ?方程求根 方程求根 ? 如果 f(x)是多項(xiàng)式 ,稱此方程為代數(shù)方程 ,若 f(x)是超越函數(shù) ,就稱 f(x)=0為超越方程。 :k k r rT b b b b T? ? ? 做 三角分解 11 1 1111111( 1 , 2 , , ) , ( 2 , , )( , 1 , , )( 1 , , ) 。 Y X f(a) f(b) f(x) 2 6 梯形公式 數(shù)值積分 n=2 時，積分節(jié)點(diǎn)為 x0=a ，1abx2??，x2=b ；柯特斯系數(shù)為( ) ( ) ( ),2 2 20 2 112C C C63? ? ?；則數(shù)值積分公式為 : ( ) ( ) ( ) ( )bab a a b