【正文】 x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?4 3 3 3 3 3, 0 . 7 7 2 8 0 . 2 2 0 . 5 8 7 3 2 8y y h f x y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?5 4 4 4 4 4 4, 0 . 2 2 0 . 3 9 9 3 8 3y y h f x y y x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?6 5 5 5 5 5 5, 0 . 2 2 0 . 2 3 9 6 2 9 8y y h f x y y x y? ? ? ? ? ? ?? ?2 0 1 .201y x y xy? ? ? ? ??????? ?步長 kx ky ? ?kyx ke 00 0 60 78 94 39 2 20 0 52 14 37 67 9 72 8 97 67 63 75 1 87 32 8 27 29 24 60 0 99 38 3 67 87 94 31 5 39 6 298 36 92 77 02 7 改進(jìn)歐拉方法 例：? ?2 0 1 .201y x y xy? ? ? ? ??????? 解：0 1 , ?? (1) 、? ?1 0 0 021y y h x y? ? ? ? ? ?1 0 0 0 1 12 2 0 . 9 62hy y x y x y? ? ? ? ? (2) 、? ?2 1 1 12 0 . 8 8 3 2y y h x y? ? ? ? ? ?2 1 1 1 2 22 2 0 . 8 5 0 9 4 42hy y x y x y? ? ? ? ? (3) 、? ?3 2 2 22 0 . 7 1 4 7 9 2 9y y h x y? ? ? ? ? ?3 2 2 2 3 32 2 0 . 6 9 7 0 9 3 32hy y x y x y? ? ? ? ? (4) 、? ?4 3 3 32 0 . 5 2 9 7 9 0 9y y h x y? ? ? ? ? ?4 3 3 3 4 42 2 0 . 5 2 8 6 7 5 52hy y x y x y? ? ? ? ? (5) 、? ?5 4 4 42 0 . 3 5 9 4 9 9 3y y h x y? ? ? ? ? ?5 4 4 4 5 52 2 0 . 3 7 2 1 8 8 72hy y x y x y? ? ? ? ? (6) 、? ?6 5 5 52 0 . 2 2 3 3 1 3 2y y h x y? ? ? ? ? ?6 5 5 5 6 62 2 0 . 2 4 4 1 5 5 72hy y x y x y? ? ? ? ? kx ky ? ?kyx ke 0 . 2 0 . 9 6 0 . 9 6 0 7 8 9 4 47 . 8 9 1 0 ?? 0 . 4 0 . 8 5 0 9 4 4 0 . 8 5 2 1 4 3 7 31 .2 0 1 0 ?? 0 . 6 0 . 6 9 7 0 9 3 3 0 . 6 9 7 6 7 6 3 45 . 8 3 1 0 ?? 0 . 8 0 . 5 2 8 6 7 5 5 0 . 5 2 7 2 9 2 4 31 .3 8 1 0 ?? 1 . 0 0 . 3 7 2 1 8 8 7 0 . 3 6 7 8 7 9 4 34 .3 1 1 0 ?? 1 . 2 0 . 2 4 4 1 5 5 7 0 . 2 3 6 9 2 7 7 37 . 2 3 1 0 ?? 1 1 2 3 41213243( 2 26( , )11( , )2211( , )22( , )iiiiiiiiiihy y k k k kk f x yk f x h y hkk f x h y hkk f x h y hk??? ? ? ? ???????? ? ????? ? ???? ? ???）? ?? ?? ?1 1 2 3 401 0 0 0002 0 0 1 0 10103 0 0 2 0 20204 0 0 3 0 30( 2 262,122, 18 18 182 2 2222, 08 63 752 2 222,nnhy y k k k kxK f x y yyhxh h hK f x y K y KhyKhxh h hK f x y K y KhyKxhK f x h y hK y hKy hK?? ? ? ? ?? ? ? ???????? ??? ? ? ? ? ? ????????????? ??? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ??）3 43 23 99( 0) 1y?????????????????????????? ?201dy xydx yy? ????? ???例：初值問題 用四階古典 Runge－ Kutta方法， 龍格 — 庫塔法 。 )0(kT龍貝格求積公式 例：用龍貝格算法計算定積分（計算一個龍貝格過程即可）。 (3).當(dāng) n≥8時，柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，這意味著 ()n nkk0C1???這就會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性，因此高階 N— C公式的效果并不理想 數(shù)值積分 n =1 時，積分節(jié)點為0xa ?，1xb ?，則數(shù)值積分公式為：? ? ( ) ( ) ( )babaf x d x f a f b2???? 其幾何意義是曲邊梯形的面積 b af ( x ) d x?近似地用梯形面積? ?baf ( a ) f ( b )2??來代替。( ) ( )bbnaaf x d x P x d x??? ( ) ( )n bf x l x dxakkk0? ? ??( ) ( ) ( )nnbk k k kak 0 k 0l x d x f x A f x???????????? ? 由于插值結(jié)點是等距節(jié)點，故插值多項式可以進(jìn)一步化簡 : 因為kx a k h??，x a t h?? 故()kjx x k j h? ? ?，()jx x t j h? ? ? 系數(shù)，其不僅與函數(shù) f(x) 無關(guān)，而且與積分區(qū)間 [a,b] 無關(guān)。其中 , xk稱為積分節(jié)點， Ak稱為求積系數(shù)。 雅可比迭代的矩陣形式為 : , 對應(yīng)于 有 高斯 — 賽德爾迭代 Ax b? iia0?設(shè)方程組 滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?, k 1 k k k1 1 1 2 2 1 3 3 1 n n 1 1k 1 k k k2 2 2 1 1 2 3 3 2 n n 2 2k 1 k k kn n n 1 1 n 2 2 n n 1 n 1 n nx b a x a x a x ax b a x a x a x ax b a x a x a x a?????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ?, , , , , , nk 1 ki i i j j i ij 1 j ik 0 1 2i 1 2 nx b a x a?????? ??? ? ??? ??? ??? ? ?????對于對于? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?, k 1 k k k1 1 1 2 2 1 3 3 1 n n 1 1k 1 k 1 k k2 2 2 1 1 2 3 3 2 n n 2 2k 1 k 1 k 1 k3 2 3 1 1 3 3 2 3 n n 3 3k 1 k 1 k 1 kn n n 1 1 n 2 2 n n 1 n 1 nnx b a x a x a x ax b a x a x a x ax b a x a x a x ax b a x a x a x a???? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?i 1 nk 1 k 1 ki i i j j i j j i ij 1 j i 1x b a x a x a???? ? ???? ? ???????高斯 — 賽德爾迭代 Ax b? ()D L U x b? ? ?? ? ? ? ? ?k 1 k 1 kD x L x U x b??? ? ? ? ? ? ?() k 1 kD L x U x b?? ? ? ?? ? ? ?( ) ( )k 1 k11x D L U x D L b? ??? ? ? ? ?? ? ? ?k 1 kx G x g? ??() 1G D L U?? ? ?() 1g D L b???矩陣表示 GS迭代 : 轉(zhuǎn)化為 于是我們得到 : 則 GS迭代的矩陣形式為 其中 為 GS迭代的迭代矩陣 ? 01??? 1??12??? 1??超松馳迭代中， 為 松弛因子 。 : 。 不為零 , 不變號 32 1 1 0xx? ? ? ? ?1,2例： 用牛頓法求方程 在 上的近似根 ? ? 232f x x x? ?? ? ?? ? 3 2 3 21 221 1 2 1 13 2 3 2n n n n nn n nn n n n nfx x x x xx x xf x x x x x?? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ?1 1 1 1 1 0f ? ? ? ?? ?2 8 4 1 2 0f ? ? ? ?? ? 60f x x?? ??解 : ,迭代公式為 : ? ?1,2 0 2x ? ? ?? ?01001 . 9 3 7 5fxxx fx? ? ?? ? ?? ?12111 . 9 3 5 7 0 9 7fxxx fx? ? ??? ?? ?23221 . 9 3 5 7 0 8 2fxxx fx? ? ??32 0 .0 0 0 0 0 1 5xx?? * 3 1 . 9 3 5 7 0 8 2xx???在 內(nèi) ,故選取 達(dá)到精度要求。 時要適當(dāng)選取。 ? 分離區(qū)間 許多方程往往有兩個以上的根 ,在某個區(qū)間[a,b]上 ,如果方程在此區(qū)間內(nèi)只含一個根 ,我們稱此區(qū)間為方程的分離區(qū)間。 直線擬合（一次函數(shù)） 1 1 2 2( , ), ( , ),x y x y , ( , )nnxy ()x a bx? ??? ? ? ?2211( , ) ( )nnk k k kkkQ a b y x y a b x???? ? ? ? ???已知數(shù)據(jù) ,求一個一次多項式 （實際上，就是求 a,b） ,使得 達(dá)到最小。于是 ,我們采用數(shù)據(jù)擬合的方法。 解：在例 1中，我們已計算出 則牛頓三次插值多項式為 1 3 4 7 0 2 15 12 ix()ifx( ) , [ , ] ,