【正文】 。這時 ,在每個已知點上就會有誤差 ,數據擬合就是從整體上使誤差 , 盡量的小一些。一般一次方程稱為線性方程 ,而二次以上的代數方程或超越方程稱為非線性方程。否則 : ＝ ? ? ? ? ? ?11, , ,nna b a b a b?? * 1 ()2n n nx x a b? ? ?得一個區(qū)間序列 , * 11 ()2n nx x b a?? ? ? ()kfx ??* kxx?誤差估計 : ,中間要轉出循環(huán)的可能是 , 如 時 ,此時轉出循環(huán) 二分法迭代次數 : 1ln( ) ln( )1 ln 2ban ????? 特點 :簡便、易掌握、對 ()fx 的要求不高 ,但收斂較慢 二分法 20xxe??( ) 2 xf x x e?? 1( 1 ) 2 0fe ?? ? ? ? ?(0) 1 0f ??求方程 的實根 , 精確到 。 注意 :這兒 只能用弧度不能用角度。 0x ? ? ? ?? ? ? ?010nnnnnf x x xxxf x f x?????1,2,n ? 0x? ? ? ?12 0nnf x f x?? ? 12nnPP??? ?nfx迭代公式 :通過以上 的選取 ,我們有 。ii i irr i r i r k k ikrir ik k rkirrrau a i n l i nuu a l u i r r na l ul i r nu??????? ? ? ? ????? ? ? ??????? ? ? ?????31211 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 3 11 1 1 11 ) 1 , , , , , aar u a u a u a l laa? ? ? ? ? ?對 于3 2 3 1 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 3 2 1 1 3 3 2222 ) 2 , , , a l ur u a l u u a l u l u?? ? ? ? ? ?對 于3 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 33 ) 3 , ( )r u a l u l u? ? ? ?對 于 ? ? ? ? , LU??112233 y x, y , , x y xL y b y Ux y x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?三角分解流程 1 1 112 , ,:iiina a a??? ??對于 做2 , 3 , ,rn?對于 做11,:rr j r j r k k jkj r na a a a?????????? ?對于 做111 , ,:ri r i r i k k r r rki r na a a a a?????? ????? ?????? ?對于 做11yb?112 , 3 , ,ii i i j jjiny b a y????? ??????對于 做n n n nx y a?11 , , 2 , 1ni i ij j iijiinx y a x a?????? ??? ????? ??? ?對于 做? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 12 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 23 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 31 1 2 2 3 3nnnnnnn n n n n n n n n na u a u a u a ua l a u a u a ua l a l a u a ua l a l a l a u雅可比 (Jacobi)迭代法 Ax b? iia0?設方程組 滿足 ? ?? ?? ?? ? ,i x b a x a x a x an1 1 12 2 13 3 1 n 11x b a x a x a x an2 2 21 1 23 3 2 n 22x b a x a x a x an n n nn 1 1 n 2 2 n n 1 n 1i 1 na x a x a x bij j ii i ij j ij 1 j i 1i 1 nx b a x a x ai i ij j ij j iij 1 j i 1? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ????? ? ?? ? ??????即 將第 個方程變形為? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?, k 1 k k k1 1 1 2 2 1 3 3 1 n n 1 1k 1 k k k2 2 2 1 1 2 3 3 2 n n 2 2k 1 k k kn n n 1 1 n 2 2 n n 1 n 1 n nx b a x a x a x ax b a x a x a x ax b a x a x a x a?????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ?, , , , , , nk 1 ki i i j j i ij 1 j ik 0 1 2i 1 2 nx b a x a?????? ??? ? ??? ??? ??? ? ?????對于對于雅可比 (Jacobi)迭代法 112233nnaaD aa?????????213 1 3 2n 1 n 2 n 30a0a a 0La a a 0?????????1 2 1 3 1 n2 3 2 n3n0 a a a0 a aU 0a0?????????? ? ? ?()k 1 k11x D L U x D b? ??? ? ? ? ? ? ? ?k 1 k0x B x f? ??()10B D L U?? ? ? 1f D b??A=D+L+U。 稱超松弛。 數值積分 N ewton — Cotes 公式是由拉格朗日插值公式而推導出來的一個系列的數值積分公式。 ()( ) ( ) ( )nb nkka k0f x d x b a C f x??? ??數值積分 性質 1: 歸一公式： () , , , ,n nkk0 C 1 n 1 2 3? ???性質 2: 對稱性： ( ) ( )nnk n kCC??在柯特斯系數表中： (1). n表示 n階 N— C 公式的系數 ,（共有 n+1個）。 Y X + a (a+b)/2 b f(x) 拋物線公式（辛普森公式） 數值積分 柯特斯公式 n= 4 時，積分節(jié)點為0xa ?，4xb ?，, , , ,kbax a k h h k 1 2 34?? ? ? ?； 柯特斯系數為( ) ( )44047CC90??，( ) ( ) ( ),4 4 41 3 23 2 1 2C C C9 0 9 0? ? ?；則數值積分公式為： ()baf x d x?( ) ( ) ( ) ( ) ( )40 1 2 3ba 7 f x 3 2 f x 1 2 f x 3 2 f x 7 f x90?????? ? ? ? ? 龍貝格求積公式 龍貝格積分法是在計算梯形和序列的基礎上應用了線性外推的加速方法，由此構成的一種具有超線性收斂的自動積分法 方法思路 : ，計算梯形和序列 abhn ??? 0,1 ?????? ?? )(21)(2100 bfafhT22,201abhhn ???? ?????? ???22121 0001hafhTT2222,2abhn ??? ?????? ???? ??02312012 212221 hiafhTTikkk abhn2,2??? ?????? ????? ? ??? 02101 212221 1 hiafhTTkikkkk由此生成序列 T0, T1, …, Tn ,… 當 時，就可以結束計算。 1 , 2 , . . . , )41lllllim k kk mmm mbaT f a f bb a b aT T f a i lTTT k l m m l???????????????? ? ? ? ???? ?? ? ? ?????( 0 )0 10[ ( ) ( ) ] [ 1 0 . 3 6 7 8 8 ] 0 . 6 8 3 922baT f a f b??? ? ? ? ?1( 1 ) ( 0 )00 11 1 1 0[ ( 2 1 ) ] 0 . 6 8 3 9 0 . 7 7 8 8 0 . 7 3 1 42 2 2 2 2ib a b aT T f a i?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??( 1 ) ( 0 )( 0 ) 0014 4 31 4 83 9 47 24 1 4 1TTT ? ??? ? ???( 2 )0 1 1 0 1 30 . 7 3 1 4 [ ( ) ( ) ] 0 . 7 4 3 02 4 4 4T f f?? ? ? ? ? ?( 2 ) ( 1 )( 1 ) 0014 4 4 1 4 1TTT ? ??? ? ???2 ( 1 ) ( 0 ) 2( 0 ) 112 224 4 1 4 1TTT ? ??? ? ???( 3 )0 1 1 0 1 3 5 70 . 7 4 3 0 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 . 7 4 5 92 8 8 8 8 8T f f f f?? ? ? ? ? ? ? ?( 3 ) ( 2 )( 2 ) 001 4 4 45 9 43 0 46 94 1 4 1TTT ? ??? ? ???2 ( 2 ) ( 1 ) 2( 1 ) 112 224 4 1 4 1TTT ? ??? ? ???3 ( 1 ) ( 0 ) 3( 0 ) 223 334 4 1 4 1TTT ? ??? ? ??? 0 . 6 8 3 9 0 . 7 4 7 2 0 . 7 4 6 9 0 . 7 4 69 0 . 7 3 1 4 0 . 7 4 6 9 0 . 7 4 6 9 0 0 . 7 4 3 0 0 . 7 4 6 9 0 0 0 . 7 4 5 9 0 0 0T???????解： 常微分方程初值問題的數值解法 歐拉法 0 1y ?? ?1 0 0 0, 1 0 . 2 0 1y y h f x y? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 1, 1 0 . 2 2 0 . 2 1 0 . 9 2y y h f x y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 2 2 2, 0 . 9 2 0 . 2 2 0 . 4 0 . 9 2 0 . 7 7 2 8y y h f