【正文】 ?101111000010此方程組有 n+1個方程 , n+1個未知數(shù) , 其系數(shù)行列式是范德蒙 (Vandermonde)行列式： （ 53） 20 0 021 1 1211( ) 01nnjijinn n nx x xx x xxxx x x?? ? ??由克萊姆法則知方程組 (53) 的解存在唯一 . 證畢。 定理 2 設(shè) f (x) 在區(qū)間 [a ,b]上存在 n+1 階導數(shù) , xi∈ [a, b] (i=0,1, …, n) 為 n+1個互異節(jié)點 , 則對任何x∈ [a ,b], 有 ( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ? 插值余項 ( ( , )ab? ? 且與 x有關(guān) ) 10( ) ( )nniix x x? ?????其 中上頁 下頁 證 由插值條件和 ?n+1(x) 的定義 , 當 x=xk 時 , 式子顯然成立 , 并且有 ?n+1(xk)=0 ( k=0,1,…,n ), 這表明 x0 , x1, … , xn 都是函數(shù) ?n+1(x) 的零點 , 從而 ?n+1(x) 可表示為 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nR x f x L x K x x? ?? ? ?其中 K(x)是 待定函數(shù) 。 33( ) , ( ) ( 0 , 1 )i i i iH x y H x m i?? ? ?3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x m x m x? ? ? ?? ? ? ? 條 件 函 數(shù) 函數(shù)值 導數(shù)值 x0 x1 x0 x1 ?0(x) 1 0 0 0 ?1(x) 0 1 0 0 ?0(x) 0 0 1 0 ?1(x) 0 0 0 1 上頁 下頁 由 0)()( 1010 ??? xx ??可將它寫成 2100 ))](([)( xxxxbax ?????21000 )(11)(xxax ??? ，得由 ?，所以）（，得再由 3100020)(xxbx ??????21010100 )](21[)( xxxxxxxxx???????20101011 )](21[)( xxxxxxxxx???????）（將同理 10 xx ?上頁 下頁 ，可令同樣由 0)()()( 101000 ???? xxx ???2100 ))(()( xxxxcx ????，再由 1)( 00 ?? x? 210 )(1xxc ??得,))(()( 210100 xxxxxxx?????201011 ))(()( xxxxxxx?????上頁 下頁 210100 ))(()( xxxxxxx?????201011 ))(()( xxxxxxx?????220 1 0 0 0 01 0 1 1 1 1( ) [ 1 2 ( )] ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ 1 2 ( )] ( ) ( ) ( ) ( )x l x l x x x x l xx l x l x x x x l x??? ? ? ?? ? ? ?,)](21[)( 21010100 xxxxxxxxx???????,)](21[)( 20101011 xxxxxxxxx???????即 )(),( 10 xlxl 插值點的 Lagrange ),(),( 1100 yxyx為以一次基函數(shù) . 上頁 下頁 可得滿足條件的 三次埃爾米特插值多項式 為 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x m x m x? ? ? ?? ? ? ?220221011 0 0 1 0 1 1 022 010 0 1 10 1 1 0[ 1 2 ]( ) [ 1 2 ]( )( )( ) ( )( )x x x xx x x xyyx x x x x x x xxxxxm x x m x xx x x x????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???上頁 下頁 定理 4 設(shè) f(x)在包含 x0、 x1的區(qū)間 [a,b]內(nèi)存在四階導數(shù)，則當 x∈ [a,b]時有 余項 ( 4 ) 2 23 3 0 11( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4!R x f x H x f x x x x?? ? ? ? ?設(shè) )(m a x )4(410xfM xxx ??? 則當 x∈ ( 0 , x1)時 , 余項有如下估計式（ 誤差限 ） 443 3 8 4)( hMxR ? 誤差估計 ( ( , )ab? ? 且與 x有關(guān) ) 上頁 下頁 例 2 已知 f(x)=x1/2及其一階導數(shù)的數(shù)據(jù)見下表 ,用埃爾米特插值公式計算 1251/2的近似值 ,并估計其截斷誤差 . x 121 144 f(x) 11 12 f 39。 112 ( 1 , 2 , , 1 )i i i i i iM M M d i n?? ??? ? ? ? ?邊界條件 為 nn MxSMxS ?????? )(,)( 00已知 上頁 下頁 周期函數(shù) M0 =Mn 0 0 1 0 1 1 10 1 1013 6 6 3n n n nnnnh h y y h h y yM M M Mhh? ? ?????? ? ? ? ? ?)()( 000 ????? nxSxS11111( 0 )36( 0 )63i i i ii i iii i i ii i iih h y yS x M Mhh h y yS x M Mh??????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?上頁 下頁 整理得 11 2n n n n nM M M d?? ?? ? ?其中 010 1 11 0 10 1 0 116nn n nn o nnnnnnhhh h h hy y y ydh h h h? ? ????????? ? ? ?? ????????? ????? ????0 0 1 0 1 1 10 1 1013 6 6 3n n n nnnnh h y y h h y yM M M Mhh? ? ?????? ? ? ? ? ?上頁 下頁 1 1 1 12 2 2 21 1 1 12222n n n nn n n nMdMdMdMd????????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?從中解出 Mi(i=1,2,...,n),得三次樣條 S(x). 11 2n n n n nM M M d?? ?? ? ?112 ( 1 , 2 , , 1 )i i i i i iM M M d i n?? ??? ? ? ? ?上頁 下頁 三轉(zhuǎn)角方程 2111 1 12 2 21111 1 1( ) ( )( ) 1 2 1 2 .( ) ( )i i iii i ii i ii i i ii i ix x x x x xS x yh h hx x x x x xy x x x x mh h h??? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?用分段 埃爾米特插值 ，得到 S(x)在 ? ?ii xx ,1?上 S(x)的表達式為 設(shè) ),1,0()( nimxS ii ???? 為參數(shù)，這種通過 確 定 mi 來求 S(x)的方法叫 三轉(zhuǎn)角法 。且 )()](,[)()](,[)(01100101nnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxfxR????????????上頁 下頁 xk f(xk) 一階均差 二階均差 三階均差 四階均差 5 5 2 例 1 已知 f(x)=shx的數(shù)表 ,求二次牛頓插值多項式 ,并由 此計算 f()的近似值。 以 xi (i=0,1,…, n)為插值節(jié)點 , 函數(shù) f(x) ?1作插值多項式 , 由插值多項式的唯一性即得 基函數(shù)的一個性質(zhì) (2) 插值基函數(shù) l i(x) 僅由插值節(jié)點 xi (i=0,1, … , n)確定 , 與被插函數(shù) f(x)無關(guān) 。 (3) 插值基函數(shù) l i(x) 的順序與插值節(jié)點 xi (i=0,1, … , n) 的順序一致 . 上頁 下頁 1)(0???nii xl這是因為若取 ?(x)=xk (k=0,1,…, n),由插值多項式的唯一性有 0( ) , 0 , 1 , ,nkkiiil x x x k n????特別當 k=0時 ,就得到 上頁 下頁 所以 019 1 4 1( ) ( 9 ), ( ) ( 4 )4 9 5 9 4 5xxl x x l x x??? ? ? ? ? ? ?1 0 0 1 111( ) ( ) ( ) 2 ( 9 ) 3 ( 4 )55L x y l x y l x x x?? ? ? ? ? ? ? ?1137 ( 7 ) 2. 65L? ? ?01, 4 , 9 ,y x x x? ? ?7例 1 已知 用線性插值 (即一次插值多項式 )求 的近似值。 ))((2 8 0 )(1 1 6 1 0 7 )(2??????xxxxN解 由上表可得過前三點的二次牛頓插值多項式為 上頁 下頁 6 3 2 0 1 )5 9 ()5 9 ( 2 ?? Nf又 1 9 7 ],[ 3210 ?xxxxf可得過前四點的三次牛頓插值多項式 ))()((1 9 7 )()( 23 ????? xxxxNxN故 6 3 1 9 1 4 )5 9 ()5 9 ( 3 ?? Nf故))((2 8 0 )(1 1 6 1 0 7 )(2??????xxxxN))()()((0 3 4 )(3 ????? xxxxxR可得 N3(x)的截斷誤差 63 )( ???R],[ 40 ?xxf ?上頁 下頁 設(shè)函數(shù) y=f(x)在 等距節(jié)點 xi=x0+ih (i=0,1, …, n)上的函數(shù)值為 fi=f(xi)(h為 步長 ) 定義 2 ? fi=fi+1fi 和 ?fi=fifi1 分別稱為函數(shù) f(x)在點 xi處的 一階向前差分 和 一階向后差分 。 1?im