【正文】 o s 2 s in 2 ] 0d2xyx? ??? ? ? ???? ? ?令 1t a n 2 2xyx?????? ???? ?9011???1 和 ?1+90176。 確定兩個互相垂直的平面，一個是最大切應力所在的平面，另一個是最小切應力所在的平面 . 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 將 ?1和 ?1+90176。 代入公式 s in 2 c o s 22xy x? ??? ? ? ????得到 ?max和 ?min ??? ? ???m a x 22m in()2xyx???????1t a n 22xyx????02t a n 2 xxy?????? ?比較 和 可見 10 212?? t a nt a n ?? 4222 0101?????? ???? , 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 例題 1 圖示單元體，已知 ?x =80MPa， ?y =50MPa， ?x= ef 截面上的應力及主應力和主單元體的方位 . ?x ?y ?x n 30176。 e f (1) 求 ef 截面上的應力 30 c os 2 si n 22280 50 80 50c os( 60 ) ( 40 ) si n ( 60 )22 M P ax y x yx? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ? ? ?解： 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 030 si n 2 c o s 228 0 5 0si n( 6 0 ) ( 4 0 ) c o s( 6 0 ) 9 2 . 6 MP a2xyx??? ? ? ?????? ? ??? ? ? ? ?(2) 求主應力和主單元體的方位 ?x = 80MPa ?y =50 MPa ?x = 40MPa ?=30176。 m ax 22m in()229 1 .3 MP a 6 1 .3 MP ax y x yx? ? ? ? ??????? ? ????? ???1 2 39 1 . 3 M P a 0 6 1 . 3 M P a? ? ?? ? ? ? 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 c o s 2 sin 2 22sin 2 c o s 2 2x y x yxxyx??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ????Ⅱ 莫爾圓 (Mohr’s circle) 將斜截面應力計算公式改寫為 把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去 ?， 得 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 2 2 2 2( ) ( )22x y x yx??? ? ? ?? ? ???? ? ? ?上式在 ? ? 直角坐標系內(nèi)的軌跡是一個圓。 圓心的坐標 ),( 02 yxC?? ?圓的半徑 22()2xyxR?? ????此圓習慣上稱為應力圓或稱為莫爾圓。 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 ① 建 ? ? 坐標系 ,選定比例尺 o ? ? 3. 應力圓作法 （ 1）步驟 x y ?x ?x ?y ?y ?y ?y 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 D o ? ? ② 量取 OA= ? x AD = ? x 得 D 點 x y ?x ?x ?y ?x ?x A OB= ?y ③ 量取 BD′= ?y 得 D′ 點 ?y B D′ ④ 連接 DD′兩點的直線與 ? 軸相交于 C 點 ⑤ 以 C為圓心 , CD 為半徑作圓 ,該圓就是相應于該單元體的應力圓 C 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 (1)該圓的圓心 C 點到 坐標 原點的 距離為 (2)該圓半徑為 22()2xyxR?? ????D o ? ? ?x A ?y B D′ C （ 2）證明 22121 yxOBOAOBOAOBOC ?? ??????? )()(2 2 2 2()2xyxC D C A A D?? ??? ? ? ?2yx ?? ? 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 （ 1）求單元體上任一 截面上的應力 從應力圓的半徑 CD 按方位角 ? 的轉(zhuǎn)向 轉(zhuǎn)動 2? 得到半徑 CE. 圓周上 E 點的坐標就依次為斜截面上的正應力 ?? 和切應力 ?? 。 D o ? ? ?x A ?y B D′ C 2?0 F E 2? x y a ?x ?x ?y ?x e f ? n 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 ?????? )c o s ( ?? 22 0CEOCCFOCOF??? ???? 2222 00 s i ns i nc o sc o s CDCDOCc o s 2 s in 222x y x y x ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ????????????22222200 s i nc o sc o ss i n)s i n (CDCDCEFE os in 2 c o s 22xy x ??? ? ? ? ?? ??證明 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 27 點面對應 —— 應力圓上某一點的坐標值對應著單元體 某一方向面上的正應力和切應力； ?yy?x?A D x?a (?x ,?x) d (?y ,?y) c ????o幾種對應關系 轉(zhuǎn)向?qū)?—— 半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致； 二倍角 對應 —— 半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 28 點 面 對 應 ?yy?x??x ?? ??c a A 河南理工大學土木工程學院 工程 力學 第 11章 復雜應力狀態(tài)分析 強度理論 29 ?? ??c轉(zhuǎn)向?qū)⒍督菍? 2α a n??b 河南理工大學土木工程學院 工程 力學