圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題-文庫吧
2025-07-10 00:12 本頁面
【正文】 例3. 已知：如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半徑等于6cm，O點(diǎn)到BC的距離OD等于2cm，求AB的長。析：因?yàn)椴恢馈螦是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形外部，所以需分兩種情況進(jìn)行討論。略解：（1）假若∠A是銳角，△ABC是銳角三角形。如圖3，由AB＝AC，可知點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，因?yàn)镺D⊥BC且AB＝AC，根據(jù)垂徑定理推論可知，DO的延長線必過點(diǎn)A，連結(jié)BO ∵BO＝6，OD＝2 ∴ 在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8 ∴ 圖3 圖3－1（2）若∠A是鈍角，則△ABC是鈍角三角形，如圖3－1添加輔助線及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4∴AB綜上所述AB＝小結(jié)：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解。 例4. 已知：如圖4，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CD延長線上一點(diǎn)，AF交⊙O于E。求證：AEEF＝ECED圖4分析：求證的等積式AEEF＝ECED中，有兩條線段EF、ED在△EDF中，另兩條線段AE、EC沒有在同一三角形中，欲將其置于三角形中，只要添加輔助線AC，設(shè)法證明△FED∽△CEA即可。證明：連結(jié)AC ∵四邊形DEAC內(nèi)接于圓 ∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA ∵直徑AB⊥CD，∴ ∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA ∴△FED∽△CEA ∴，∴AEEF＝ECED小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分析已知條件時(shí)，千萬不要忽略這一重要條件。例5. 已知：如圖5，AM是⊙O的直徑，過⊙O上一點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N，其延長線交⊙O于點(diǎn)C，弦CD交AM于點(diǎn)E。圖5（1）如果CD⊥AB，求證：EN＝NM；（2）如果弦CD交AB于點(diǎn)F，且CD＝AB，求證CE2＝EFED；（3）如果弦CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長線交于點(diǎn)F，且CD＝AB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。證明：（1）連結(jié)BM（如圖5－1）圖5－1 ∵AM是直徑，∴∠ABM＝90176。 ∵CD⊥AB，∴BM∥CD ∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN ∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM （2）連結(jié)BD，BE，AC（如圖5－2）圖5－2 ∵點(diǎn)E是BC垂直平分線AM上一點(diǎn)，∴BE＝EC ∵CD＝AB，∴ ∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE ∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC ∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB ∴BE2＝EFED，∴CE2＝EFED （3）結(jié)論成立。如圖5－3圖5－3 證明：仿（2）可證△ABE≌△ACE ∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE 又∵AB＝CD，∴ ∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC ∴∠BDE＋∠ACE＝180176。 而∠FBE＋∠ABE＝180176。 ∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角 ∴△BED∽△FEB ∴BE2＝EFED，∴CE2＝EFED（二）直線與圓的關(guān)系 1. 直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱無切線割線圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系 2. 切線的判定 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 3. 切線的性質(zhì) （1）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑； （2）推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)； （3）推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 此定理及推論可理解為以下三個(gè)條件中任知其中兩個(gè)就可推出第三個(gè)：①垂直于切線；②經(jīng)過切點(diǎn)；③經(jīng)過圓心。 4. 切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；（2）推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 6. 和圓有關(guān)的比例線段（1）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；（2）推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)；（3）切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)；（4）推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。
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