大綱版高二數(shù)學(xué)下16762算術(shù)平均數(shù)幾何平均(修改稿12頁(yè)-22頁(yè))-文庫(kù)吧
2025-07-07 18:08 本頁(yè)面
【正文】 （4）若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是[9，+∞)解題規(guī)律：（1）已知是和式，要證是積式，故可利用均值不等式實(shí)現(xiàn)和、積轉(zhuǎn)換或稱和、差化積，積化和差。（2）在函數(shù)表達(dá)式中，由于變量符號(hào)不確定，故需進(jìn)行討論，以便能正確使用均值不等式。（3）一正二定三相等在求最值時(shí)缺一不可，必須認(rèn)真檢查，若所給條件不能使用不等式求最值時(shí)，可考慮利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解決。解：命題（1）、（4）正確，（2）、（3）錯(cuò)誤。（1）1=x+2y≥2 xy≤或xy≤x2y≤≤（2）因?yàn)閤的符號(hào)不確定，故需討論：x≥0時(shí)，f (x)=+3x≥2=12x＜0時(shí)，f (x)= [+3x]≤12解題規(guī)律：（4）用湊配法湊配出能使用不等式的條件，在求函數(shù)最值時(shí)經(jīng)常用到，目標(biāo)是使和或積為定值，同時(shí)注意取等號(hào)的條件。（3）∵令= x2= 3不可能∴等號(hào)不成立；只能利用函數(shù)的單調(diào)性解決，由≥2，而f (t)= t +在t∈[2，+∞]單調(diào)遞增，所以f (t)min= f (2)=2+=（4）由ab=a+b+3≥2+323≥0≥3；或由已知b==1+ ∵b＞0，∴a1＞0故：ab=a+= a++4=a1++5≥4+5=9例2 ：已知a、b、c∈R，求證：++≥ (a+b+c)解題規(guī)律：不等式兩邊一邊為無(wú)理式，另一邊為有理式則應(yīng)考慮將無(wú)理式轉(zhuǎn)化為有理式，即將根號(hào)里面變出完全平方，再開(kāi)方，當(dāng)然≤也是一種化無(wú)理式為有理式的方法。解析：由不等式兩邊的確良結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們聯(lián)想到重要不等式x2+y2≥2xy及拓展形式≥(x、y∈R)，故可運(yùn)用它們進(jìn)行證明。證明：∵≥≥|a+b|≥(a+b)同理≥(b+c) ≥(c+a)三式相加可得：++≥ (a+b+c)點(diǎn)金術(shù)——思維拓展發(fā)散：例3：（1）若已知a＞b＞c，則ac的最小值。 （2）設(shè)0≤x≤1，則y=xx3的最大值。解析(1) ：不能直接看出有什么積為定值，故需將已知式變形，能否湊配同積為定值，可觀察出分母可分解因式：思維互動(dòng)：生：y=x(1x2) =x(1x) (1+x)=x(22x) (1+x) ≤=，不是師：由于取等號(hào)條件是x=1+x=22x，這樣的x不存在，故需另想辦法。解析(2)：解析式為和差形式，初看不能使用不等式，但只要提取公因式就可化為積的形式，再來(lái)湊配中為定值。解：∵0≤x≤1，∴y=xx3=x(1x2)且1x2≥0又y2=x2(1x2)2=2x2(1x2) (1x2)≤= ∴y≤當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1x2x=∈[0，1]時(shí)，ymin=方法規(guī)律：在利用不等式求函數(shù)最值時(shí)，常用到湊配技巧，增項(xiàng)、減項(xiàng)或乘除某一常數(shù)，使和、積成為定值，同時(shí)兼顧等號(hào)成立條件。例4：已知a、b、x、y∈R+，+=1，求證x+
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1