第29講等比數(shù)列-文庫吧
2025-06-15 04:14 本頁面
【正文】 。若{an}是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當b=－1且a≠0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。由命題2得，a1=a+b+c，當n≥2時，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差數(shù)列，則a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有當c=0時，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。由命題3得，a1=a－1，當n≥2時，an=Sn－Sn－1=a－1，顯然{an}是一個常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當a－1≠0；即a≠1時數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。點評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個命題均涉及到Sn與an的關系，它們是an=，正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關系式，尤其注意首項與其他各項的關系。上述三個命題都不是真命題，選擇A。題型2：等比數(shù)列的判定例3．（2000全國理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛｝，其中＝2n＋3n，且數(shù)列｛＋1－p｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（Ⅱ）設｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列，=an+bn，證明數(shù)列｛｝不是等比數(shù)列。解析：（Ⅰ）解：因為｛＋1－p｝是等比數(shù)列，故有：（＋1－p）2＝（＋2－p＋1）（－p－1），將＝2n＋3n代入上式，得：［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］，即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，整理得（2－p）（3－p）2n3n＝0，解得p=2或p=3。（Ⅱ）證明：設｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，=an+bn。為證｛｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1c3。事實上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，c1c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又ab1不為零，因此c22≠c1c3，故｛｝不是等比數(shù)列。點評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質，推理和運算能力。例4．（2003京春，21）如圖3—1，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的圖3—1內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，（n∈N*），證明{an}是等比數(shù)列；證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30176。=。=sin30176。=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比數(shù)列。點評：該題考察實際問題的判定，需要對實際問題情景進行分析，最終對應數(shù)值關系建立模型加以解析。題型3：等比數(shù)列的通項公式及應用例5．一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。解析：設所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=－5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，－。點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。例6．（2006年陜西卷）已知正項數(shù)列，其前項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項
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