【正文】 五．思維總結(jié)1．等比數(shù)列的知識要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)）（1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an∴a1=q－1＞0 即q＞1,從而等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)。q2…qn＝q（n＝1，2，3…）又∵bn＋2＝1＋（n＋1）d＝2 ∴（n＋1）d＝1B1＝b1＝1＋d B2＝b2＋b1＝1＋d＋1＋2d Bn＝1＋d＋…＋1＋nd＝n（Ⅱ）An＞Bn，當(dāng)n≥7時(shí)證明：當(dāng)n＝7時(shí)，23．5＝8點(diǎn)評：對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可。例4．（2003京春，21）如圖3—1，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的圖3—1內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，（n∈N*），證明{an}是等比數(shù)列；證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30176。由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差數(shù)列，則a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。例2．命題1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a≠0)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列；命題3：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na－n，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=(a－1)c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又ab1不為零，因此c22≠c1（2）D；（3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。1（3）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=)解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，依題意設(shè)：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。(Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；(Ⅱ)對給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項(xiàng)之和。；（4）特別要注意等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為q＝1與q≠1兩類，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，Sn＝?！郺1=q－1=2故此數(shù)列的首為2，公比為3。k∴Ak＋1－Bk＋1＞又∵k＝8，9，10… ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，綜上所述，An＞Bn成立.（3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得a3a4＝10，且aa4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10．若a3＝1，則a4＝10，a5＝，與題設(shè)矛盾．若a3＝5，則a4＝2，a5＝，與題設(shè)矛盾．若a3＝10，則a4＝1，a5＝60，a6＝，與題設(shè)矛盾.所以a3＝2.（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝3，a3＝a1＋2，等式成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時(shí)等式成立，即ak＝ak－2＋2,由題設(shè)ak＋1ak＝（ak－1＋2）解析