【正文】 2四種情況不互斥∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4] +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5[二十六（1）]設(shè)有4個獨立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系統(tǒng)正常。∵ A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4獨立)34.[三十一] 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=Br “任取一只是正品”=A由全概率公式，有 （條件概率定義與乘法公式）35．甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，。，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解：高Hi表示飛機被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機∵ ，三種情況互斥。 三種情況互斥 又 B1，B2，B2獨立?！? + +=P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)==又因： A=H1A+H2A+H3A 三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =++1=36.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=, P (A2)=, P (A2)=，現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨立地）∵ B表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三種情況互斥由全概率公式，有∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =()3+()3+()3= 37.[三十四] 將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其它一字母的概率都是(1－α)/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。）解：設(shè)D表示輸出信號為ABCA，BBB3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則BBB3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=α，P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =，同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式，得由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = =[二十九] 設(shè)第一只盒子裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍球，3只綠球，4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍球的概率，（2）求有一只藍球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。解：記AAA3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球，BBB3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。（1）記C={至少有一只藍球}C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記D={有一只藍球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥（3）[三十] A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給A，B，C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概率分別為，設(shè)三人的行動相互獨立，求（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個電話，求（3）這3個電話打給同一人的概率；（4）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給B，而B卻都不在的概率。解：記CCC3分別表示打給A，B，C的電話 DDD3分別表示A，B，C外出注意到CCC3獨立，且 （1）P（無人接電話）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =（2）記G=“被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式（3）H為“這3個電話打給同一個人”（4）R為“這3個電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個電話，每種情況的概率為于是（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為，且各次情況相互獨立于是 P（3個電話都打給B，B都不在的概率）=第二章 隨機變量及其分布1.[一] 一袋中有5只乒乓球，編號為5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表X： 3， 4，5P：3.[三] 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。Px12O再列為下表X： 0， 1， 2P： 4.[四] 進行重復獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1－p(0p1)（1）將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，求X的分布律。（此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將實驗進行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)，求Y的分布律。（此時稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）一籃球運動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。解：（1）P (X=k)=qk－1p k=1,2,…… （2）Y=r+n={最后一次實驗前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}其中 q=1－p，或記r+n=k，則 P{Y=k}= （3）P (X=k) = ()k－ k=1,2…P (X取偶數(shù))=6.[六] 一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，問在同一時刻（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？[五] 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求Y的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值為1，2，3，…，n，…P {X=n}=P {前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去} =， n=1，2，……（2）Y的可能取值為1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飛了出去}= P {Y=2}=P {第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去} = P {Y=3}=P {第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去} = 同上， 故8.[八] 甲、乙二人投籃，, ，令各投三次。求（1）二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = ()3 ()3+ [ （2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。 P (XY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 9.[十] 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的。）解：（1）P (一次成功)=（2）P (連續(xù)試驗10次，成功3次)= 。此概率太小，按實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。[九] 有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B（10，），Y~B（5，）（近似服從）（1）P {X=0}=≈（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=（3）P {Y=0}= 5≈（4）P {0X≤2，Y=0} ({0X≤2}與{ Y=2}獨立) = P {0X≤2}P {Y=0} =（5）P {X=0}+ P {0X≤2，Y=0} ≈+=12.[十三] 電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率法一： （直接計算）法二： P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。 = －=（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。 P (X10)=P (X ≥11)=（查表計算）[十二 (2)]每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。[十六] 以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P{至多3分鐘}；（2）P {至少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間}；（4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）P{}解：（1）P{至多3分鐘}= P {X≤3} = （2）P {至少4分鐘} P (X ≥4) = （3）P{3分鐘至4分鐘之間}= P {3X≤4}= （4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}= P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘} = （5）P{}= P (X=)=018.[十七] 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為，求（1）