【正文】 據(jù)此方程所給出的曲線則稱為誤差曲線或高斯正態(tài)分布曲線。此誤差分布曲線完全反映了偶然誤差的上述特點(diǎn)?，F(xiàn)在我們來(lái)考慮一下σ值對(duì)分布曲線的影響，由式（1－8）可見(jiàn)，數(shù)據(jù)的均方誤差σ愈小，e指數(shù)的絕對(duì)值就愈大，y減小的就愈快，曲線下降的也就更急，而在x=0處的y值也就愈大，反之，σ愈大，曲線下降的就緩慢，而在x=0處的y值也就愈小。圖1－2對(duì)三種不同的σ值（σ值為1單位，σ值為3單位，σ值為10單位）給出了偶然誤差的分布曲線。 圖1－1 誤差分布曲線（高斯正態(tài)分布曲線） 圖1－2 不同σ值時(shí)的誤差分布曲線從這些曲線以及上面的討論中可知，σ值愈小，小的偶然誤差出現(xiàn)的次數(shù)就愈多，測(cè)定精度也就愈高。當(dāng)σ值愈大時(shí)，就會(huì)經(jīng)常碰到大的偶然誤差，也就是說(shuō)，測(cè)定的精度也就愈差。因而實(shí)測(cè)到數(shù)據(jù)的均方誤差，完全能夠表達(dá)出測(cè)定數(shù)據(jù)的精確度，也即表征著測(cè)定結(jié)果的可靠程度?？梢傻膶?shí)驗(yàn)觀測(cè)值的舍棄由概率積分知，偶然誤差正態(tài)分布曲線下的全部面積，相當(dāng)于全部誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率，即： （1－9）若隨機(jī)誤差在－σ～＋σ范圍內(nèi)，概率則為： （1－10）令，則 （1－11）即誤差在的范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為，而超出這個(gè)范圍的概率則為（）。概率函數(shù)φ(t)與t的對(duì)應(yīng)值在數(shù)學(xué)手冊(cè)或?qū)Ｖ芯接写祟惙e分表，現(xiàn)給出幾個(gè)典型的t值及其相應(yīng)的超出或不超出的概率，見(jiàn)表11。表11 t值及相應(yīng)的概率不超過(guò)的概率超過(guò)的概率測(cè)量次數(shù)n超過(guò)的測(cè)量次數(shù)n123423223701562611111由上表可知，當(dāng)，時(shí)，在370次觀測(cè)中只有一次絕對(duì)誤差超出3σ范圍，由于在測(cè)量中次數(shù)不過(guò)幾次或幾十次，因而可以認(rèn)為的誤差是不會(huì)發(fā)生的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差，這也稱為3σ規(guī)則。由此認(rèn)為，的誤差已不屬于偶然誤差，這可能是由于過(guò)失誤差或?qū)嶒?yàn)條件變化未被發(fā)覺(jué)引起的，所以這樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)分析和誤差計(jì)算以后予以舍棄。函數(shù)誤差上述討論主要是直接測(cè)量的誤差計(jì)算問(wèn)題，但在許多場(chǎng)合下，往往涉及間接測(cè)量的變量，所謂間接測(cè)量是通過(guò)直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，并根據(jù)函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量，如流體流速等測(cè)量變量。因此，間接測(cè)量就是直接測(cè)量得到的各測(cè)量值的函數(shù)。其測(cè)量誤差是各原函數(shù)。（1）函數(shù)誤差的一般形式在間接測(cè)量中，一般為多元函數(shù)，而多元函數(shù)可用下式表示： （1－12）其中：y為間接測(cè)量值；x為直接測(cè)量值。由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得： （1－13）或 （1－14）它的極限誤差為： （1－15）其中：為誤差傳遞系數(shù)；Δx為直接測(cè)量值的誤差；Δy為間接測(cè)量值的極限誤差或稱函數(shù)極限誤差。由誤差的基本性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義，得函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差 （1－16）其中：σi直接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。（2）某些函數(shù)誤差的計(jì)算?。┰O(shè)函數(shù)，變量X、Z的標(biāo)準(zhǔn)誤差分別為σx、σz。由于誤差的傳遞系數(shù)，則：函數(shù)極限誤差 （1－17）函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差 （1－18）ⅱ）設(shè)變量x、z、w的標(biāo)準(zhǔn)誤差為σx、σy、σw。由于誤差傳遞系數(shù)分別為： 則函數(shù)的相對(duì)誤差為 （1－19）函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為： （1－20）ⅲ）設(shè)函數(shù)，變量x的標(biāo)準(zhǔn)誤差為σx，a、b、n為常數(shù)。由于誤差傳遞系數(shù)為則函數(shù)的誤差為 （1－21）函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為： （1－22）ⅳ）設(shè)函數(shù)，變量x的標(biāo)準(zhǔn)誤差為σx，k、n為常數(shù)。由于誤差傳遞系數(shù)為： （1－23）函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為： （1－24）ⅴ）算術(shù)平均值的誤差由算術(shù)平均值的定義知：其誤差傳遞系數(shù)為 i=1,2,…,n則算術(shù)平均值的誤差 （1－25）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 （1－26）當(dāng)M1，M2，…，Mn是同組等精度測(cè)量值，它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差相同，并等于σ。所以 （1－27）除了上述討論由已知各變量的誤差或標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算函數(shù)誤差外，還可以應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)。在實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)時(shí)，如何去選擇儀表的精度，即由預(yù)先給定的函數(shù)誤差（實(shí)驗(yàn)裝置允許的誤差）求取各測(cè)量值（直接測(cè)量）所允許的最大誤差。但由于直接測(cè)量的變量不是一個(gè)，在數(shù)學(xué)上則是不定解。為了獲得唯一解，假定各變量的誤差對(duì)函數(shù)的影響相同，這種設(shè)計(jì)的原則稱為等效應(yīng)原則或等傳遞原則，即： （1－28）或 （1－29）第六節(jié) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理一、有效數(shù)字的處理有效數(shù)字及其表示方法所謂有效數(shù)字是指一個(gè)位數(shù)中除最末一位數(shù)為欠準(zhǔn)或不確定外，其余各位數(shù)都是準(zhǔn)確知道的，這個(gè)數(shù)據(jù)由幾位數(shù)，我們就說(shuō)這個(gè)數(shù)據(jù)有幾位有效數(shù)字。有效數(shù)字反映一個(gè)數(shù)的大小，又表示在測(cè)量或計(jì)算中能夠準(zhǔn)確地量出或讀出的數(shù)字，因此它與測(cè)量?jī)x表的精確度有關(guān)，在有效數(shù)字中只許可包含一位估計(jì)數(shù)字（末位為估計(jì)數(shù)字），而不能包含二位數(shù)字。例如分度值為1℃的溫度計(jì)，℃，則三個(gè)數(shù)字都是有效數(shù)字（其中末位是許可估計(jì)數(shù)），而記為25℃℃都是不正確的。對(duì)于精度為1/10℃的溫度計(jì)，℃有效數(shù)字是四位，其中第四位是估計(jì)值。，1500米代表四位有效數(shù)字，104則只代表兩位有效數(shù)字，104表示四位有效數(shù)字，“0”不能省去，表示這個(gè)數(shù)值與實(shí)際值只相差不過(guò)10米。有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則（1）記錄、測(cè)量只準(zhǔn)保留一位估計(jì)數(shù)字。（2）當(dāng)有效數(shù)字確定后，其余數(shù)字一律棄去，舍棄的辦法是四舍五入，偶舍奇入。即末位有效數(shù)字后面第一位大于5則在前一位上加上1，小于5就舍去，若等于5時(shí)，前一位是奇數(shù)就增加1，如前一位是偶數(shù)則舍去。例如有效數(shù)字是三位時(shí)，；；；。（3）加減法規(guī)則以計(jì)算流體的進(jìn)、出口溫度之和、之差為例，℃℃，則溫度和 溫度差 由于運(yùn)算結(jié)果具有二位存疑值；它和有效數(shù)字的概念（每個(gè)有效數(shù)字只能有一位有疑值）不符，故第二位存疑數(shù)應(yīng)作四舍五入加以拋棄?！妗?。從上面例子可以看出，為了保證間接測(cè)量值的精度，實(shí)驗(yàn)裝置中選取儀器時(shí)，其精度要一致，否則系統(tǒng)的精度將受到精度低的儀器儀表的限制。（4）乘除法運(yùn)算兩個(gè)量相乘（或相除）的積（或商），與其有效數(shù)字位數(shù)量少的相同。（5）乘方、開(kāi)方后的有效數(shù)字位數(shù)與其底數(shù)相同。（6）對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與其真數(shù)相同。二、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的初步整理是列表，可分為數(shù)據(jù)記錄表與結(jié)果計(jì)算表兩種，它們是一種專門(mén)的表格。實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)記錄表是根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容而設(shè)計(jì)的，必須在實(shí)驗(yàn)正式開(kāi)始之前列出表格。例如：流體流動(dòng)阻力的測(cè)定，實(shí)驗(yàn)的原始記錄表形式如下：表1—2序號(hào)體積流量,L/s時(shí)間,s沿程損失讀數(shù),cm局部損失讀數(shù),cm左右012在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中完成一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)試，必須及時(shí)地將有關(guān)數(shù)據(jù)記錄在表內(nèi)。當(dāng)實(shí)驗(yàn)完成時(shí)得到一張完整的原始數(shù)據(jù)記錄表。切忌采用按操作崗位獨(dú)自記錄，最后在實(shí)驗(yàn)完成后，重新整理成原始數(shù)據(jù)記錄方法，這種方法既費(fèi)時(shí)又易造成差錯(cuò)。流體流動(dòng)阻力實(shí)驗(yàn)的運(yùn)算表格形式如下：表1—3序號(hào)流量m3/s流速m/sRe104沿程損失mH2O摩擦系數(shù)λ102局部損失mH2O阻力系數(shù)ξ為了得到關(guān)于實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果的完整概念，表中所列數(shù)據(jù)應(yīng)該是足夠和必須的。同時(shí)，在相同條件下的重復(fù)試驗(yàn)也應(yīng)該列入表內(nèi)。擬制實(shí)驗(yàn)表時(shí)，應(yīng)該注意下列事項(xiàng)：（1） 列表的表頭要列出變量名稱、單位的因次。單位不宜混在數(shù)字中，以致分辨不清；（2） 數(shù)字記錄要注意有效位數(shù)，它要與實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確度相匹配。（3） 數(shù)據(jù)較大或較小時(shí)就用浮點(diǎn)數(shù)表示，階數(shù)部分（即177。n）應(yīng)記錄在表頭；（4） 列表的標(biāo)題要清楚、醒目、能恰當(dāng)說(shuō)明問(wèn)題。圖形法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在一定坐標(biāo)紙上繪成圖形，其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，便于比較，容易看出數(shù)據(jù)間的聯(lián)系及變化規(guī)律，查找方便?，F(xiàn)在就有關(guān)問(wèn)題介紹如下：（1）坐標(biāo)的選擇化工通常的坐標(biāo)有直角坐標(biāo)，對(duì)數(shù)坐標(biāo)和半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。根據(jù)預(yù)測(cè)的函數(shù)形式選擇不同形式。通?？傁Ｍ麍D形能呈直線，以便用方程表示，因此一般線性函數(shù)采用直角坐標(biāo)，冪函數(shù)采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，指數(shù)函數(shù)采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。（2）坐標(biāo)的分度習(xí)慣上橫坐標(biāo)是自變量x，縱坐標(biāo)表示因變量y，坐標(biāo)分度是指x、y軸每條坐標(biāo)所代表數(shù)值的大小，它以閱讀、使用、繪圖以及能真實(shí)反映因變關(guān)系為原則。①為了盡量利用圖面，分度值不一定自零開(kāi)始，可以用變量的最小值整數(shù)值作為坐標(biāo)起點(diǎn)，而高于最大值的某一整數(shù)值為坐標(biāo)的終點(diǎn)。②坐標(biāo)的分度不應(yīng)過(guò)細(xì)或過(guò)粗，應(yīng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精度相匹配，一般最小的分度值為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字最后第二位，即有效數(shù)字最末位在坐標(biāo)上剛好是估計(jì)值。③當(dāng)標(biāo)繪的圖線為曲線時(shí)，其主要的曲線斜率應(yīng)以接近1為宜。（3）坐標(biāo)分度值的標(biāo)記在坐標(biāo)紙上應(yīng)將主坐標(biāo)分度值標(biāo)出，標(biāo)記時(shí)所有有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與原始數(shù)據(jù)的有效數(shù)字相同，另外每個(gè)坐標(biāo)軸必須注明名稱、單位和坐標(biāo)方向。（4）數(shù)據(jù)描點(diǎn)數(shù)據(jù)描點(diǎn)是將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)畫(huà)到坐標(biāo)紙上，若在同一圖上表示不同組的數(shù)據(jù)，應(yīng)以不同的符號(hào)（如△□○等）加一區(qū)別。（5）繪制曲線繪制曲線應(yīng)遵循以下原則：①曲線應(yīng)光滑均整，盡量不存在轉(zhuǎn)折點(diǎn)，必要時(shí)也可以有少數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。②曲線經(jīng)過(guò)之處應(yīng)盡量與所有點(diǎn)相接近。③曲線不必通過(guò)圖上各點(diǎn)以及兩端任一點(diǎn)。一般兩端點(diǎn)的精度較差，作圖時(shí)不能作為主要依據(jù)。④曲線一般不應(yīng)具有含糊不清的不連續(xù)點(diǎn)或其它奇異點(diǎn)。⑤若將所有點(diǎn)分為幾組繪制曲線時(shí)，則在每一組內(nèi)位于曲線一側(cè)的點(diǎn)數(shù)應(yīng)與另一側(cè)的點(diǎn)數(shù)近似相等。方程法在化工原理實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常將獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或所繪制的圖形整理成方程式或經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式表示，以描述過(guò)程和現(xiàn)象及其變量間的函數(shù)關(guān)系。凡是自變量與因變量成線性關(guān)系或允許進(jìn)行線性化處理的場(chǎng)合，方程中的常數(shù)項(xiàng)均可用圖解法求得。把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)標(biāo)成直線圖形，求得該直線的斜率m和截距b，便可得到直線的方程表示式：y=b+mx（1）直角坐標(biāo)直線的斜率可由圖中直角三角形Δy/Δx之比值求得,即也可選取直線上兩點(diǎn)，用下式計(jì)算：直線的截距b可以直接從圖上讀得，當(dāng)b不易從圖上讀得時(shí)可用下式計(jì)算：b=(y1x2y2x1)/(x2x1)（2）雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)對(duì)于冪函數(shù)方程y=bxm 在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示為一直線：lgy=lgb+mlgx令Y=lgy；B=lgb；X=lgx上式該寫(xiě)成：Y=B+mX上式表示若對(duì)原式x、y取對(duì)數(shù)，而將Y=lgy對(duì)X=lgx在直角坐標(biāo)上可得一條直線，直線的斜率：m=Δy/Δx=(Y2Y1)/(X2X1)=(lgy2 lgy1)/(lgx2lgx1)為了避免將每個(gè)數(shù)據(jù)都換算成對(duì)數(shù)值，可以將坐標(biāo)的分度值按對(duì)數(shù)繪制（即雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)），將實(shí)驗(yàn)x、y標(biāo)于圖上，則與先取對(duì)數(shù)再標(biāo)繪迪卡兒直角坐標(biāo)上所得結(jié)果是完全相同的。工程上均采用雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)，把原數(shù)據(jù)直接標(biāo)在坐標(biāo)紙上。坐標(biāo)的原點(diǎn)為x=1，y=1，而不是零。因?yàn)閘g1=0,當(dāng)x=1時(shí)（即X=lg1=0），Y=B=lgb,因此x=1的縱坐標(biāo)上讀數(shù)y就是b。b值亦可用計(jì)算方法求出，即在直線上任取一組（x,y）數(shù)據(jù)，代入y=bxm 方程中，用已求得的m值代入即可算出b值。（3）單對(duì)數(shù)坐標(biāo)單對(duì)數(shù)坐標(biāo)是用于指數(shù)方程： lny=lna+bx即 lgy=lga+(b/)x令 Y=lgyA=lgaB=b/則上式改寫(xiě)成Y=A+BX，此式在單對(duì)數(shù)坐標(biāo)上也是一條直線。（4）y=a/x在直線坐標(biāo)上為雙曲函數(shù)，若以y～x1作圖形，在直角坐標(biāo)上就為線性關(guān)系。用最小二乘法擬合曲線（1）什么是最小二乘法在化工實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常需要將試驗(yàn)獲得