【正文】 ，指向月球自轉(zhuǎn)角速度方向，軸按右手坐標(biāo)系確定。為原點(diǎn)在嫦娥三號(hào)質(zhì)心的軌道坐標(biāo)系，指向從月心到 著陸器的延伸線方向，垂直指向運(yùn)動(dòng)方向，按右手坐標(biāo)系確定。制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力的方向與嫦娥三號(hào)縱軸重合，為與軸的夾角，為在平面上的投影與軸負(fù)向所成夾角。為與所成夾角，為在平面上的投影與軸正向所成夾角。為月球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的月固坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角，不妨假設(shè)初始時(shí)刻月固坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合。 圖一：坐標(biāo)示意圖顯然有軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣 慣性坐標(biāo)系到月固坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合科氏定律整理可以得到嫦娥三號(hào)在月固坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程為其中，,為嫦娥三號(hào)速度矢量與月固坐標(biāo)系各軸上的投影，為發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，為嫦娥三號(hào)的質(zhì)量，,和為該高度月球重力加速度在月固定系各軸上的投影，為月球自轉(zhuǎn)角速度。因此，在月固坐標(biāo)系中嫦娥三號(hào)的運(yùn)動(dòng)方程可表示如下： 其中為月球引力常量，為嫦娥三號(hào)制動(dòng)器的比沖，是一個(gè)常值。 取為系統(tǒng)狀態(tài)變量，為控制變量，則式可以簡(jiǎn)記為 二、燃料節(jié)省最優(yōu)模型建立 按照耗燃最優(yōu)的要求，取性能指標(biāo)為 在實(shí)際情況下，通常沒(méi)必要令嫦娥三號(hào)著陸速度嚴(yán)格等于零，只要能保證嫦娥三號(hào)以很小的相對(duì)速度 降落到月面就足可以接受的。因此，考慮到這一點(diǎn)， 本文將軟著陸的末速度要求以懲罰岡子的形式加入 到指標(biāo)中如下式所示，主要目的是降低最優(yōu)控制問(wèn) 題求解的復(fù)雜度，該懲罰因子可以通過(guò)反復(fù)的數(shù)值 仿真運(yùn)算，按經(jīng)驗(yàn)設(shè)定。此外，顯然有約束條件 其中，為預(yù)定著陸點(diǎn)在月固坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；為著陸點(diǎn)到月心距離，即月球半徑。對(duì)于含有形如善。這類(lèi)關(guān)于狀態(tài)變量在連續(xù)時(shí) 間上都要滿足的不等式約束最優(yōu)化問(wèn)題，至今還是 最優(yōu)化領(lǐng)域的一個(gè)難點(diǎn)。文獻(xiàn)[10]中給出一種約束變換技術(shù)，使得該類(lèi)問(wèn)題得到解決。 顯然等價(jià)于 但上式顯然在時(shí)不可微，因此用如下不等式去近似上式 其中 是調(diào)節(jié)參數(shù)。文獻(xiàn)證明了當(dāng)足夠小的時(shí)候，存在使得對(duì)任何滿足的能夠令對(duì)達(dá)到滿足要求的近似。不妨記為用式替換得到的新的約束函數(shù)。因此本文所討論的軟著陸耗燃最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在系統(tǒng)(1)滿足約束函數(shù)G的情況下，求取適當(dāng)?shù)目刂谱兞俊笆怪笜?biāo)函數(shù)(2)達(dá)到最小。2 參數(shù)化控制求解耗燃最優(yōu)問(wèn)題 假定初始時(shí)刻為0，終端時(shí)刻為待定參數(shù)。選取滿足的序列和三組參數(shù)，，構(gòu)造形如 的參數(shù)化分段常數(shù)控制器。其中 用控制器替換系統(tǒng)中的，則問(wèn)題一轉(zhuǎn)變?yōu)椋簡(jiǎn)栴}2 尋找三組參數(shù)，來(lái)最小化指標(biāo)函數(shù)，并且滿足約束函數(shù)。 顯然，對(duì)于每個(gè)給定的P，這都是一個(gè)有限維的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]中第六章已經(jīng)證明了當(dāng)時(shí)，問(wèn)題2的最優(yōu)解收斂于問(wèn)題1的最優(yōu)解。 不過(guò)文獻(xiàn)[12]已經(jīng)證明了在數(shù)值計(jì)算中，求解問(wèn)題 2的參數(shù)梯度時(shí)難度很大甚至求不出真實(shí)解，因而 本文引入強(qiáng)化技術(shù)來(lái)解決這一問(wèn)題。 從到構(gòu)造如下變換 上式中,，序列為區(qū)間上預(yù)先給定的分段點(diǎn)，并且滿足。將上式兩邊對(duì)求導(dǎo)可得 其中 不妨令 ，則得到如下增廣系統(tǒng) 即 其中O,P,Q與分別為O,P,Q與經(jīng)過(guò)變形后的形式 指標(biāo)函數(shù)變?yōu)榧s束條件變?yōu)? 其中，由于僅僅已知探測(cè)器在軟著陸起始點(diǎn)到月心的距離和探測(cè)器的起始速度，原來(lái)質(zhì)量，而軟著陸起始點(diǎn)與另兩個(gè)空間位置信息角的初始值未知，因而令 為系統(tǒng)待定 參數(shù)。則系統(tǒng)可以表示為： 那么問(wèn)題2轉(zhuǎn)化為如下問(wèn)題：在系統(tǒng)(6)滿足約束并且初始條件如式(9)的情況下，求取適當(dāng)?shù)目刂谱兞渴怪笜?biāo)函數(shù)(7)達(dá)到最小。再由 可知，問(wèn)題3將最初的探月飛行器軟著陸最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了優(yōu)化靜態(tài)控制參數(shù)，和以及系統(tǒng)參數(shù)，的問(wèn)題，利用經(jīng)典的參數(shù)優(yōu)化算法即可求出登月飛行器的軟著陸最優(yōu)控制的一組逼近解和軟著陸最優(yōu)初值點(diǎn)位置以及終端時(shí)刻。利用此算法，增加時(shí)間的分段點(diǎn)個(gè)數(shù)叮以重新優(yōu)化，經(jīng)過(guò)多次優(yōu)化后即可得到滿意精度的參數(shù)化解。 此外，假如令系統(tǒng)(1)中的推力F為已知的恒 定推力，令控制變量，則本文問(wèn)題變?yōu)楹愣ㄍ屏ο萝浿懽顑?yōu)控制問(wèn)題，依然可以利用本文方法解決，而依據(jù)極大值原理結(jié)合傳統(tǒng)的打靶 法則只能解決恒定推力的情況，因I而相比之下本文方法適用性更廣。3 數(shù)值仿真已知探測(cè)器初始質(zhì)量；制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力為，最大推力,比沖。初始速度，；月球自轉(zhuǎn)角速度；月球引力常數(shù)；近月點(diǎn)距月心距離月球半徑。登月點(diǎn)選擇月面上的雨海，位置為北緯，西經(jīng)利用最優(yōu)控制軟件，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真運(yùn)算，令，即可得到符合精度的最優(yōu)解，最終利用本文的參數(shù)化控制得到軟著陸末時(shí)刻，末時(shí)刻探測(cè)器質(zhì)量，燃料消耗為，最后探測(cè)器以的對(duì)月速度精確降落到指定登月點(diǎn)。此為可得，從而有最優(yōu)初始點(diǎn)坐標(biāo)。若不考慮對(duì)初始點(diǎn)位置的優(yōu)化，文獻(xiàn)[8]利用打靶 法最終得到著陸時(shí)探測(cè)器質(zhì)量為，著陸位置 距預(yù)定著陸點(diǎn)，相比之下本文方法在燃料消 耗上節(jié)省了，同時(shí)落點(diǎn)精確，沒(méi)有偏差。 圖2利用本文方法得出的最優(yōu)控制率，由于最優(yōu)控制率是分段長(zhǎng)值函數(shù)因而為梯形圖。圖3為三個(gè)方向上的速度曲線，因而可以看出探測(cè)器軟著陸時(shí)相對(duì)月面速度足夠小，軟著陸成功實(shí)現(xiàn)。圖4為軟著陸最優(yōu)軌線，顯示了角以及探測(cè)器距離月心的距離隨時(shí)間變化的曲線，圖5是探測(cè)器質(zhì)量變化曲線。 圖三：軟著陸速度曲線 圖四：軟著陸最優(yōu)曲線 圖五：質(zhì)量變化曲線