求解對(duì)流擴(kuò)散方程的pade逼近格式畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-07 15:38 本頁面
【正文】 方面，對(duì)流擴(kuò)散方程也有其獨(dú)特的特點(diǎn)，在自然科學(xué)中很多現(xiàn)象是用對(duì)流擴(kuò)散方程或方程組描述的，一般方程的準(zhǔn)確解很難得到的，因此大多數(shù)情況用數(shù)值方法求解。本文考慮采用差分格式進(jìn)行求解。目前對(duì)該問題主要差分格式有中心顯式差分格式, DufortFrankel 差分格式,CrankNicholson 格式等[2，3], 一些常用的數(shù)值解法將會(huì)遇到某些共有的困難，例如,計(jì)算出來的數(shù)值解具有較大的數(shù)值擴(kuò)散或較大的非物理性振蕩現(xiàn)象[4] 因此研究對(duì)流擴(kuò)散問題的新的數(shù)值解法具有十分重要的意義。文[5]中用時(shí)間離散方法對(duì)對(duì)流擴(kuò)散方程求解得到了空間方向具有7階精度的差分格式,但是在時(shí)間方向具有2階精度。本文中對(duì)對(duì)流擴(kuò)散方程x方向應(yīng)用二階中心差分離散,t 方向保持變，得到對(duì)時(shí)間變量的常微分方程組，,為了避免剛性和有效的求解擴(kuò)散方程本文用pade逼近方法有效地求解該問題得到截?cái)嗾`差為的兩層絕對(duì)穩(wěn)定的隱式差分格式，并討論了穩(wěn)定性，數(shù)值值結(jié)果與CrankNicholson 格式進(jìn)行比較，數(shù)值結(jié)果表明,該方法是有效求解對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值計(jì)算.本文分為三大部分，第一部分簡(jiǎn)單介紹對(duì)流擴(kuò)散方程的經(jīng)典差分格式，第二部分主要介紹對(duì)流擴(kuò)散方程的pade逼近格式的構(gòu)造和穩(wěn)定性，第三部分給出具體的數(shù)值算例，結(jié)果與CrankNicolson格式，準(zhǔn)確值進(jìn)行比較，最后給出結(jié)論利用下面的各種數(shù)值微分公式得到不同的差分格式，（2）截?cái)嗾`差：一般說來，微分方程的解不會(huì)精確地滿足差分方程。將差分方程中的各個(gè)項(xiàng)同時(shí)用微分方程的解在相應(yīng)點(diǎn)的值代入，利用泰勒展開，就會(huì)得到一個(gè)誤差項(xiàng)，這個(gè)誤差項(xiàng)就是截?cái)嗾`差。相容性：若時(shí)間步長(zhǎng)以及空間步長(zhǎng)同時(shí)趨于，截?cái)嗾`差，就說差分格式與微分方程是相容的。一個(gè)差分格式與一個(gè)微分方程相容，則表明當(dāng)時(shí)，差分算子與微分算子對(duì)任一光滑函數(shù)的作用是相同的，所以可用相容的差分格式近似相應(yīng)的微分方程，而截?cái)嗾`差則是對(duì)這一近似程度的一個(gè)度量。收斂性：考察差分格式在理論上的準(zhǔn)確解能否任意逼近微分方程的解。如果當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)以及空間步長(zhǎng)趨于時(shí)，我們稱差分格式是收斂的，即時(shí)間步長(zhǎng)以及空間步長(zhǎng)趨于時(shí)，差分格式的解逼近于微分方程的解。穩(wěn)定性：差分格式的計(jì)算是逐層計(jì)算的，計(jì)算第層上的時(shí)，要用到第層上計(jì)算出來的結(jié)果。計(jì)算時(shí)的舍入誤差，必然會(huì)影響到的值，從而就要分析這種誤差傳播的情況。因此，一個(gè)有實(shí)用價(jià)值的數(shù)值方法應(yīng)該具有能夠控制這種誤差影響的性能，這就是數(shù)值方法的穩(wěn)定性。精度：如果一個(gè)差分格式的截?cái)嗾`差，就說差分格式對(duì)時(shí)間是階精度的，對(duì)空間是階精度的。Lax 等價(jià)定理：給定一個(gè)適定的線性初值問題以及與其相容的差分格式，則差分格式的穩(wěn)定性是差分格式收斂性的充分必要條件。定理1（von Neumann條件） 微分方程（1）的差分格式穩(wěn)定的必要條件是當(dāng)，,對(duì)所有有 ， 其中為增長(zhǎng)因子（或增長(zhǎng)矩陣），表示的特征值，為常數(shù)。 定理2 如果差分格式的增長(zhǎng)矩陣是正規(guī)矩陣，則 von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。 當(dāng)為實(shí)對(duì)稱矩陣，酉矩陣，Hermite矩陣時(shí)，von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的充分必要條件。 當(dāng)時(shí)，即只有一個(gè)元素，則von Neumann 條件是差分格式穩(wěn)定的充要條件。定理3 如果存在常數(shù)使得 ， ，則差分格式是穩(wěn)定的。2. 對(duì)流擴(kuò)散方程的幾種常見的差分格式我們考慮如下對(duì)流擴(kuò)散方程齊次邊值問題 (3) 下面我們討論（3）各種常見的經(jīng)典差分格式的構(gòu)造和穩(wěn)定性 （4） 其中為常數(shù)，易知該格式的截?cái)嗾`差為。如果那么式（1）就是對(duì)流方程的一個(gè)差分格式。我們知道這是一個(gè)不穩(wěn)定的差分格式。下面對(duì)于用Fourier方法討論該格式的穩(wěn)定性。 若令 ， 那么差分格式可以改寫為 (5)求出這個(gè)差分格式的增長(zhǎng)因子 其模的平方為 由于，所以 （此時(shí)差分格式穩(wěn)定）的充分條件為 注意到，所以上面不等式滿足的條件為由此可得到差分格式的穩(wěn)定性限制為說明中心顯式差分方法是條件穩(wěn)定的。 LeapFrog/ DufortFrankel 差分方法及性質(zhì) （6）其中 為常數(shù)。載斷 分析： 為對(duì)流擴(kuò)散方程的充分光滑解，那么由此看出，兼容性要求當(dāng) ，有 ，此時(shí)，其裁斷誤差為 穩(wěn)定性分析 令 則差分格式（2） 可改寫成由于這個(gè)格式是三層格式，由此我們化成與其等價(jià)的二層差分方程組
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