【正文】 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,∴ AO=OC,∴ S△ ABO=S△ OBC,∵ EF =? AB,∴ S1=? S△ ABO,∵ GH=? BC,∴ S2=? S△ OBC,所以 2S1=3S2. ? 12 12 13 134.(2022湖北武漢 ,13,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,∠ D=100176。,∠ DAB的平分線 AE交 DC于點(diǎn) E,連接 AE=AB,則 ∠ EBC的度數(shù)為 . ? 答案 30176。 解析 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ BC∥ AD,AB∥ DC,∠ ABC=∠ D, ∴∠ DAB+∠ D=180176。,∵∠ D=100176。, ∴∠ DAB=80176。,∠ ABC=100176。. 又 ∵∠ DAB的平分線交 DC于點(diǎn) E, ∴∠ EAD=∠ EAB=40176。. ∵ AE=AB,∴∠ ABE=? (180176。40176。)=70176。, ∴∠ EBC=∠ ABC∠ ABE=100176。70176。=30176。. 125.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,15,3分 )已知平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn) A在第三象限 ,對角線 AC的中點(diǎn) 在坐標(biāo)原點(diǎn) ,一邊 AB與 x軸平行且 AB=2,若點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,b),則點(diǎn) D的坐標(biāo)為 . 答案 (a2,b)或 (a+2,b) 解析 因?yàn)?AB∥ x軸 ,A(a,b),且 AB=2,所以 B的坐標(biāo)為 (a+2,b)或 (a2,b),因?yàn)??ABCD是中心對稱 圖形 ,其對稱中心與原點(diǎn)重合 ,所以點(diǎn) B與點(diǎn) D關(guān)于原點(diǎn)對稱 ,所以點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (a2,b)或 (a+2, b). 6.(2022湖北黃岡 ,20,8分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,分別以邊 BC,CD作等腰△ BCF,△ CDE,使 BC=BF, CD=DE,∠ CBF=∠ CDE,連接 AF,AE. (1)求證 :△ ABF≌ △ EDA。 (2)延長 AB與 CF相交于點(diǎn) AF⊥ AE,求證 :BF⊥ BC. ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AB=CD=DE,BF=BC=AD,∠ ABC=∠ ADC,又 ∠ CBF=∠ CDE,∴∠ ABF=∠ ADE,在△ ABF與△ EDA中 ,AB=ED,∠ ABF=∠ EDA,BF=DA,∴ △ ABF≌ △ EDA. (2)由 (1)知 ∠ EAD=∠ AFB, ∴∠ GBF=∠ AFB+∠ BAF=∠ EAD+∠ BAF, 易知 AD∥ BC,∴∠ DAG=∠ CBG,∵ AF⊥ AE,∴∠ EAF=90176。, ∴∠ FBC=∠ FBG+∠ CBG=∠ EAD+∠ FAB+∠ DAG=∠ EAF=90176。,∴ BF⊥ BC. 7.(2022山西 ,17,6分 )已知 :如圖 ,在 ?ABCD中 ,延長 AB至點(diǎn) E,延長 CD至點(diǎn) F,使得 BE= EF,與對角線 AC交于點(diǎn) O. 求證 :OE=OF. ? 證明 證法一 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD.? (2分 ) ∵ BE=DF,∴ AB+BE=CD+DF,即 AE=CF.? (3分 ) ∵ AB∥ CD,∴ AE∥ CF,∴∠ E=∠ F,∠ 1=∠ 2,? (4分 ) ∴ △ AOE≌ △ COF,? (5分 ) ∴ OE=OF.? (6分 ) 證法二 :連接 AF,CE.∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD.? (2分 ) ∵ BE=DF,∴ AB+BE=CD+DF,即 AE=CF.? (3分 ) ∵ AB∥ CD,∴ AE∥ CF,? (4分 ) ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 ,? (5分 ) ∴ OE=OF.? (6分 ) C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 多邊形的概念及其性質(zhì) 1.(2022新疆烏魯木齊 ,5,4分 )一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 720176。,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ? ( ) 答案 C 設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 n,由多邊形內(nèi)角和公式列式得 (n2)180176。=720176。,解得 n=6. 2.(2022云南 ,10,4分 )若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為 900176。,則這個(gè)多邊形是 ? ( ) 答案 C 設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 n,由多邊形內(nèi)角和定理得 (n2)180176。=900176。,解得 n=7,即這個(gè) 多邊形為七邊形 .故選 C. 3.(2022江蘇蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在正五邊形 ABCDE中 ,連接 BE,則 ∠ ABE的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B 根據(jù)正 n邊形的內(nèi)角 =? 求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 108176。,又每一 條邊都相等 ,則△ ABE是等腰三角形 ,故 ∠ ABE=∠ AEB=36176。. ( 2) 180n n? ? ?4.(2022江蘇南京 ,5,2分 )已知正六邊形的邊長為 2,則它的內(nèi)切圓的半徑為 ? ( ) B.? ? 3 3答案 B 正六邊形一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)與其內(nèi)切圓圓心的連線及這條邊構(gòu)成一個(gè)等邊三角 形 ,正六邊形的內(nèi)切圓半徑即為這個(gè)等邊三角形的高 ,所以內(nèi)切圓半徑 =2sin 60176。=? ,故選 B. 35.(2022山西 ,12,3分 )圖 1是我國古代建筑中的一種窗格 ,其中冰裂紋圖案象征著堅(jiān)冰出現(xiàn)裂紋 并開始消溶 ,形狀無一定規(guī)則 ,代表一種自然和諧美 .圖 2是從圖 1冰裂紋窗格圖案中提取的由五 條線段組成的圖形 ,則 ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5= 度 . 圖 1 圖 2 答案 360 解析 ∵ 任意 n(n≥ 3)邊形的外角和為 360176。,圖中五條線段組成五邊形 ,∴∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+ ∠ 5=360176。. 6.(2022貴州貴陽 ,13,4分 )如圖 ,點(diǎn) M,N分別是正五邊形 ABCDE的兩邊 AB,BC上的點(diǎn) ,且 AM=BN, 點(diǎn) O是正五邊形的中心 ,則 ∠ MON的度數(shù)是 度 . ? 答案 72 解析 解法一 :連接 OA,OB,∵ O為正五邊形 ABCDE的中心 , ∴∠ OAM=∠ OBN,又 ∵ OA=OB,AM=BN,∴ △ OAM≌ △ OBN,∴∠ AOM=∠ BON,∴∠ MON=∠ AOB=?=72 176。. 3605 ?解法二 :特殊位置法 ,當(dāng) OM⊥ AB,ON⊥ BC時(shí) ,∠ MON=180176?！?B=72176。. ? 解法三 :作 OP⊥ AB,OQ⊥ BC,如圖所示 . 易證 Rt△ OPM≌ Rt△ OQN,則 ∠ POM=∠ QON, ∴∠ MON=∠ POQ=180176?！?B=72176。. 7.(2022江蘇南京 ,14,2分 )如圖 ,∠ 1是五邊形 ABCDE的一個(gè)外角 .若 ∠ 1=65176。,則 ∠ A+∠ B+∠ C+ ∠ D= 176。. ? 答案 425 解析 因?yàn)?∠ 1=65176。,所以 ∠ AED=115176。. 因?yàn)槲暹呅蝺?nèi)角和是 540176。, 所以 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=540176。115176。=425176。. 8.(2022廣東廣州 ,16,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD中 ,∠ A=90176。,AB=3? ,AD=3,點(diǎn) M,N分別為線段 BC, AB上的動(dòng)點(diǎn) (含端點(diǎn) ,但點(diǎn) M不與點(diǎn) B重合 ),點(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,則 EF長度的最大值為 . ? 3答案 3 解析 連接 DN,因?yàn)辄c(diǎn) E,F分別為 DM,MN的中點(diǎn) ,所以 EF是△ DMN的中位線 ,EF=? 點(diǎn) B、 N重合時(shí) ,DN有最大值 ? =6,所以 EF長度的最大值為 3. ? 1222(3 3) 3?9.(2022浙江溫州 ,20,8分 )各頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn) (橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn) )上的多邊形稱為格點(diǎn) 多邊形 .如何計(jì)算它的面積 ?奧地利數(shù)學(xué)家皮克 (,1859— 1942)證明了格點(diǎn)多邊形的面積 公式 :S=a+? b1,其中 a表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù) ,b表示多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù) ,S表示多邊形的 面積 .如圖 1,a=4,b=6,S=4+? 61=6. (1)請?jiān)趫D 2中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形 ,使它的內(nèi)部只含有 4個(gè)格點(diǎn) ,并寫出它的面積 。 (2)請?jiān)趫D 3中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形 ,使它的面積為 ? ,且每條邊上除頂點(diǎn)外無其他格點(diǎn) . 圖 1 121272圖 2 圖 3 解析 (1)畫法不唯一 ,如圖①或圖② . (2)畫法不唯一 ,如圖③ ,圖④等 . ? 考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)與判定 1.(2022安徽 ,9,4分 )?ABCD中 ,E,F是對角線 BD上不同的兩點(diǎn) .下列條件中 ,? 得出四邊形 AECF一定為平行四邊形的是 ? ( ) =DF =CF ∥ CE D.∠ BAE=∠ DCF ??不 能答案 B 當(dāng) BE=DF時(shí) ,如圖 1, 易證△ AFD≌ △ CEB,△ ABE≌ △ CDF, 從而 AF=CE,AE=CF, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 A不符合題意 。 當(dāng) AF∥ CE時(shí) ,如圖 1, 則 ∠ AFE=∠ CEF,從而 ∠ AFD=∠ CEB, 又因?yàn)?∠ ADF=∠ CBE,AD=BC, 所以△ AFD≌ △ CEB,則 AF=CE, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 C不符合題意 。 當(dāng) ∠ BAE=∠ DCF時(shí) ,如圖 1,易證△ ABE≌ △ CDF, 可得 ∠ AEB=∠ CFD,AE=CF, 所以 ∠ AEF=∠ CFE,所以 AE∥ CF, 則四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 D不符合題意 。 如圖 2,其中 AE=CF, 但顯然四邊形 AECF不是平行四邊形 .故 B符合題意 . 圖 1 圖 2 思路分析 依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進(jìn)行判斷 . 2.(2022江蘇連云港 ,5,3分 )已知四邊形 ABCD,下列說法正確的是 ? ( ) AD=BC,AB∥ DC時(shí) ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AD=BC,AB=DC時(shí) ,四邊形 ABCD是平行四邊形 AC=BD,AC平分 BD時(shí) ,四邊形 ABCD是矩形 AC=BD,AC⊥ BD時(shí) ,四邊形 ABCD是正方形 答案 B 判斷四個(gè)說法的對錯(cuò)時(shí) ,可畫出圖形 ,根據(jù)圖形作出判斷 .兩組對邊分別相等的四邊 形是平行四邊形 ,選項(xiàng) B正確 ,故選 B. 3.(2022河南 ,7,3分 )如圖 ,?ABCD的對角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,AB⊥ AB=4,AC=6,則 BD的 長是 ( ) ? 答案 C 在 ?ABCD中 ,AO=CO,BO=DO, ∵ AC=6,∴ AO=3, ∵ AB⊥ AC,∴ 在 Rt△ ABO中 ,BO=? =? =5, ∴ BD=2BO=10,故選 C. 22AB AO? 2243?4.(2022山東臨沂 ,18,3分 )在平行四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點(diǎn) AB=4,BD=10,sin ∠ BDC=? ,則平行四邊形 ABCD的面積是 . ? 35答案 24 解析 作 CE⊥ BD于 E,在 Rt△ BDE中 ,∵ sin∠ BDC=? =? =? ,AB=4,∴ CE=? ,S?ABCD=2? BDCE=24. ? 35 CECDCEAB 125 1