【正文】 ?ABCD的對角線 AC,BD交于點 O,已知 AD=8,BD=12,AC=6,則△ OBC 的周長為 ? ( ) ? 答案 B ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,AC=6,BD=12, ∴ OA=OC=3,OB=OD=6. 又 BC=AD=8, ∴ △ OBC的周長 =OB+OC+BC=3+6+8= B. 3.(2022衢州 ,5,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 ,M是 BC延長線上的一點 .若 ∠ A=135176。,則 ∠ MCD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴∠ BCD=∠ A=135176。,∴∠ MCD=180176。∠ BCD=180176。 135176。=45176。.故選 A. 4.(2022衢州 ,4,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,已知 AD=12 cm,AB=8 cm,AE平分 ∠ BAD交 BC邊于點 E, 則 CE的長等于 ? ( ) cm cm cm cm 答案 C ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ BC=AD=12 cm,AD∥ BC, ∴∠ DAE=∠ BEA, ∵ AE平分 ∠ BAD, ∴∠ BAE=∠ DAE, ∴∠ BEA=∠ BAE, ∴ BE=AB=8 cm, ∴ CE=BCBE=4 cm,故選 C. 解題關鍵 利用角平分線和平行四邊形的性質得出 ∠ BEA=∠ BAE是解題的關鍵 . 1.(2022紹興 ,7,4分 )小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊 ,為了能在商店配到一 塊與原來相同的平行四邊形玻璃 ,他帶了兩塊碎玻璃 ,其編號應該是 ? ( ) ? A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 考點三 平行四邊形的判定 答案 D 帶①④不能確定平行四邊形任一邊長 。帶③④或①②只能確定平行四邊形一對對 邊邊長 。帶②③可以確定平行四邊形玻璃的原貌 ,故選 D. 2.(2022溫州 ,21,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=BC,∠ ACB=90176。,☉ O(圓心 O在△ ABC內部 )經(jīng)過 B、 C兩點 ,交 AB于點 E,過點 E作☉ O的切線交 AC于點 F,延長 CO交 AB于點 G,作 ED∥ AC交 CG于點 D. (1)求證 :四邊形 CDEF是平行四邊形 。 (2)若 BC=3,tan∠ DEF=2,求 BG的值 . ? 解析 (1)證明 :連接 OE. ∵ AC=BC,∠ ACB=90176。, ∴∠ B=45176。,∴∠ COE=90176。. ∵ EF與☉ O相切 ,∴∠ FEO=90176。, ∴∠ COE+∠ FEO=180176。,∴ EF∥ CO. ∵ DE∥ CF, ∴ 四邊形 CDEF是平行四邊形 . (2)過點 G作 GH⊥ CB于點 H. ∵∠ ACB=90176。,∴ AC∥ GH,∴∠ FCD=∠ CGH. 在 ?CDEF中 ,∠ DEF=∠ FCD,∴∠ DEF=∠ CGH, ∴ tan∠ CGH=tan∠ DEF=2,∴ ? =2. ∵∠ B=45176。,∴ GH=BH,∴ CH=2BH. ∵ BC=3,∴ BH=GH=1, ∴ BG=? . CHGH2思路分析 (1)連接 EO,通過切線證明 EF∥ CO,結合 DE∥ CF證得四邊形 CDEF是平行四邊形 . (2)過 G作 GH⊥ BC,由 (1)可證明 ∠ CGH=∠ DEF,結合 tan∠ DEF=2,∠ B=45176。,BC=3求出 BH,GH的 長 ,從而求 BG. 3.(2022嘉興、舟山 ,23,10分 )如圖 ,AM是△ ABC的中線 ,D是線段 AM上一點 (不與點 A重合 ).DE∥ AB交 AC于點 F,CE∥ AM,連接 AE. ? (1)如圖 1,當點 D與 M重合時 ,求證 :四邊形 ABDE是平行四邊形 。 (2)如圖 2,當點 D不與 M重合時 ,(1)中的結論還成立嗎 ?請說明理由 。 (3)如圖 3,延長 BD交 AC于點 H,若 BH⊥ AC,且 BH= FH=? ,DM=4時 ,求 DH的長 . 3解析 (1)證明 :∵ DE∥ AB,∴∠ EDC=∠ ABD. ∵ CE∥ AM,∴∠ ECD=∠ AMB. 又 ∵ AM是△ ABC的中線 ,且 D與 M重合 ,∴ BD=DC, ∴ △ ABD≌ △ EDC, ∴ AB=ED,又 ∵ AB∥ ED, ∴ 四邊形 ABDE為平行四邊形 . (2)結論成立 ,理由如下 : 過點 M作 MG∥ DE交 EC于點 G. ∵ CE∥ AM, ∴ 四邊形 DMGE為平行四邊形 , ∴ ED=GM且 ED∥ GM, 由 (1)可得 AB=GM且 AB∥ GM, ∴ AB=ED且 AB∥ ED. ∴ 四邊形 ABDE為平行四邊形 . (3)取線段 HC的中點 I,連接 MI, ∴ MI是△ BHC的中位線 , ∴ MI∥ BH,MI=? BH. 又 ∵ BH⊥ AC,且 BH=AM, ∴ MI=? AM,MI⊥ AC, ∴∠ CAM=30176。. 設 DH=x,則 AH=? x,AD=2x, ∴ AM=4+2x,∴ BH=4+2x, 由 (2)已證四邊形 ABDE是平行四邊形 ,∴ FD∥ AB, ∴ ? =? ,即 ? =? , 解得 x=1+? 或 x=1? (不合題意 ,舍去 ). ∴ DH=1+? . 12123HFHA HDHB 33 x42x x?5 55關鍵提示 本題是平行四邊形的綜合題 ,考查平行四邊形的判定和性質 ,用到了三角形全等的 知識 .對于第 (3)問 ,關鍵是構造三角形中位線 ,利用邊的關系得出含特殊角的直角三角形 . 4.(2022溫州 ,20,8分 )如圖 ,在方格紙中 ,點 A,B,P都在格點上 .請按要求畫出以 AB為邊的格點四邊 形 ,使 P在四邊形內部 (不包括邊界 ),且 P到四邊形的兩個頂點的 距離相等 . (1)在圖甲中畫出一個 ?ABCD。 (2)在圖乙中畫出一個四邊形 ABCD,使 ∠ D=90176。,且 ∠ A≠ 90176。. ? 解析 (1)畫法不唯一 ,如圖① ,② ,③ 等 . ? (2)畫法不唯一 ,如圖④ ,⑤ ,⑥ 等 . ? 5.(2022嘉興 ,22,12分 )如圖 1,已知點 E、 F、 G、 H分別是四邊形 ABCD的邊 AB、 BC、 CD、 DA 的中點 ,根據(jù)以下思路可以證明四邊形 EFGH是平行四邊形 . ? → EH FG→ 四邊形 EFGH是平行四邊形 ? (1)如圖 2,將圖 1中的點 C移動至與點 E重合的位置 ,F、 G、 H仍是 BC、 CD、 DA的中點 ,求證 :四 邊形 CFGH是平行四邊形 。 (2)如圖 3,在邊長為 1的小正方形組成的 55網(wǎng)格中 ,點 A、 C、 B都在格點上 ,在格點上找一點 D, 使以點 C與 BC、 CD、 DA的中點 F、 G、 H為頂點的四邊形 CFGH是正方形 ,畫出點 D,并求正方 形 CFGH的邊長 . 解析 (1)連接 BD,∵ C,H是 AB,AD的中點 , ∴ CH為△ ABD的中位線 , ? ∴ CH∥ BD且 CH=? BD, 同理 ,FG∥ BD且 FG=? BD, ∴ CH∥ FG且 CH=FG. ∴ 四邊形 CFGH為平行四邊形 . (2)點 D的位置如圖所示 . 連接 BD,則 FG是△ CBD的中位線 ,BD=? , 12125∴ FG=? BD=? , ∴ 正方形 CFGH的邊長為 ? . 12 5252方法指導 (1)連接 BD,利用三角形中位線的性質進行證明 . (2)聯(lián)想 (1)中圖形 ,D點需滿足 BD⊥ AB,進而利用勾股定理和三角形中位線性質求解 . 1.(2022河北 ,16,2分 )已知正方形 MNOK和正六邊形 ABCDEF邊長均為 1,把正方形放在正六邊 形中 ,使 OK邊與 AB邊重合 ,如圖所示 ,按下列步驟操作 : 將正方形在正六邊形中繞點 B順時針旋轉 ,使 KM邊與 BC邊重合 ,完成第一次旋轉 。再繞點 C順 時針旋轉 ,使 MN邊與 CD邊重合 ,完成第二次旋轉 ?！?在這樣連續(xù) 6次旋轉的過程中 ,點 B,M間 的距離可能是 ? ( ) ? B組 20222022年全國中考題組 考點一 多邊形 答案 C 在第一次旋轉過程中 ,BM=1。在第二次旋轉過程中 ,點 M位置不變 ,BM=1。在第三次旋 轉過程中 ,BM的長由 1逐漸變小為 ? 1。在第四次旋轉過程中 ,點 M在以點 E為圓心 ,? 為半徑 的圓弧上 ,BM的長由 ? 1逐漸變小為 2? ,然后逐漸變大為 ? 1。在第五次旋轉過程中 ,BM的 長由 ? 1逐漸變大為 1。在第六次旋轉過程中 ,點 M位置不變 ,BM= 6次旋轉的過程中 , 點 B,M間的距離可能是 ,故選 C. 3 23 2 33解題關鍵 解決本題的關鍵是求出每個旋轉過程中 BM長的變化范圍 . 2.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,23,6分 )圖 1是我們常見的地磚上的圖案 ,其中包含了一種特殊的平面圖形 — — 正八邊形 . (1)如圖 2,AE是☉ O的直徑 ,用直尺和圓規(guī)作☉ O的內接正八邊形 ABCDEFGH(不寫作法 ,保留作 圖痕跡 )。 (2)在 (1)的情形下 ,連接 OA=5,若扇形 OAD(∠ AOD180176。)是一個圓錐的側面 ,則這個圓 錐底面圓的半徑等于 . ? 解析 (1)如圖 ,正八邊形 ABCDEFGH即為所求 . ? (4分 ) (2)? .? (6分 ) 1583.(2022河北 ,22,9分 )已知 n邊形的內角和 θ=(n2)180176。. (1)甲同學說 ,θ能取 360176。而乙同學說 ,θ也能取 630176。.甲、乙的說法對嗎 ?若對 ,求出邊數(shù) n。若不對 , 說明理由 。 (2)若 n邊形變?yōu)?(n+x)邊形 ,發(fā)現(xiàn)內角和增加了 360176。,用列方程的方法確定 x. 解析 (1)甲對 ,乙不對 .? (2分 ) ∵ θ=360176。,∴ (n2)180=360. 解得 n=4.? (3分 ) ∵ θ=630176。,∴ (n2)180=630,解得 n=? . ∵ n為整數(shù) ,∴ θ不能取 630176。.? (5分 ) (2)依題意 ,得 (n2)180+360=(n+x2)180.? (7分 ) 解得 x=2.? (9分 ) 112關鍵提示 本題是一道典型的把方程思想與多邊形的內角和結合在一起的題目 ,解題的關鍵 是