【正文】 (2)若四邊形 ABCD為菱形 ,求 ∠ ABC的度數(shù) . 解析 (1)證明 :∵ EF∥ MN, ∴∠ ACN=∠ EAC, ∵ CB平分 ∠ ACN,AD平分 ∠ EAC, ∴∠ ACB=? ∠ ACN,∠ DAC=? ∠ EAC, ∴∠ ACB=∠ DAC, ∴ AD∥ BC,又 DC∥ AB, ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 . (2)∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴∠ DAC=∠ CAB, ∵∠ EAD=∠ DAC, ∴∠ DAC=∠ EAD=∠ CAB=? 180176。和 CD相交于點 :OD=OB39。 (2)畫出一個角等于已知角 α。OHOD即 ? =? , 解得 x=? , ∴ S△ OPD39。. 又 ∵ DO=OD39。OB=? ? ? +? 2? =1+? . 故箏形 ABCD的面積為 1+? . BOAO312 12 122 2123 33評析 (1)根據(jù)四邊形周長為四邊之和 ,可得 AB的長 . (2)連接 AC,根據(jù)等邊對等角證明 . (3)箏形 ABCD的面積等于兩個三角形面積的和 ,并說明 OB是 AC邊上的高 . 1.(2022紹興一模 )在平面直角坐標系中 ,已知點 A的坐標為 (1,2),將點 A向右平移 3個單位長度得 到點 B,點 A關于原點的對稱點為 C,若四邊形 ABCD為平行四邊形 ,則點 D的坐標為 . 考點二 平行四邊形 答案 (4,2) 解析 點 A(1,2)向右平移 3個單位長度得點 B(4,2), 點 A關于原點的對稱點為 C(1,2), 根據(jù)平行四邊形的中心對稱性知 ,點 D的坐標為 (4,2) 2.(2022濱江二模 ,16)?ABCD中 ,CD=2,BC=4,BD=2? ,對角線 AC,BD交于點 O,將△ CDO繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) ,使點 D落在 AD上的 D39。,∠ DAB=105176。5=108176。180176。 答案 C ∵ 多邊形的每個外角都等于 45176。,∴∠ BAH=60176。,連接 AP39。 (3)在線段 PE上取點 F,使 PF=1,過點 F作 MN⊥ PE,截取 FM=2,FN=1,且點 M、 N分別在第一、四 象限 .在運動過程中 ,設 ?PCOD的面積為 S. ① 當點 M,N中有一點落在四邊形 ADEC的邊上時 ,求出所有滿足條件的 t的值 。 (2)連接 AC,DE,當 ∠ B=∠ AEB= 176。CE=CD,所以 ∠ MOA=∠ GOF. 又 AO=FO,∠ MAO=∠ GFO=60176。,解得 x=7,故選 D. 2.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,正六邊形 ABCDEF的邊長為 a,P是 BC邊上一動點 ,過 P作 PM∥ AB交 AF于 M,作 PN∥ CD交 DE于 N. (1)① ∠ MPN= 176。 G、 H是 BC邊上的點 ,且 GH=? S1,S2分別表示△ EOF和△ GOH的面積 ,則 S1與 S2之間的等 量關系是 . ? 1213答案 2S1=3S2? 1 2 2 13223S S S S????????或 均 正 確解析 如圖 ,連接 AC,BD,交點為 O,∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,∴ AO=OC,∴ S△ ABO=S△ OBC,∵ EF =? AB,∴ S1=? S△ ABO,∵ GH=? BC,∴ S2=? S△ OBC,所以 2S1=3S2. ? 12 12 13 134.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 ,AE平分 ∠ BAD,交 DC的延長線于點 證 :DA=DE. 證明 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AB∥ CD.∴∠ BAE=∠ E. ∵ AE平分 ∠ BAD,∴∠ BAE=∠ DAE. ∴∠ E=∠ DAE,∴ DA=DE. 1.(2022安徽 ,9,4分 )?ABCD中 ,E,F是對角線 BD上不同的兩點 .下列條件中 ,不能 得出四邊形 AECF一定為平行四邊形的是 ? ( ) =DF =CF ∥ CE D.∠ BAE=∠ DCF 考點三 平行四邊形的判定 答案 B 當 BE=DF時 ,如圖 1, 易證△ AFD≌ △ CEB,△ ABE≌ △ CDF, 從而 AF=CE,AE=CF, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 A不符合題意 。.甲、乙的說法對嗎 ?若對 ,求出邊數(shù) n。在第三次旋 轉(zhuǎn)過程中 ,BM的長由 1逐漸變小為 ? 1。. 設 DH=x,則 AH=? x,AD=2x, ∴ AM=4+2x,∴ BH=4+2x, 由 (2)已證四邊形 ABDE是平行四邊形 ,∴ FD∥ AB, ∴ ? =? ,即 ? =? , 解得 x=1+? 或 x=1? (不合題意 ,舍去 ). ∴ DH=1+? . 12123HFHA HDHB 33 x42x x?5 55關鍵提示 本題是平行四邊形的綜合題 ,考查平行四邊形的判定和性質(zhì) ,用到了三角形全等的 知識 .對于第 (3)問 ,關鍵是構(gòu)造三角形中位線 ,利用邊的關系得出含特殊角的直角三角形 . 4.(2022溫州 ,20,8分 )如圖 ,在方格紙中 ,點 A,B,P都在格點上 .請按要求畫出以 AB為邊的格點四邊 形 ,使 P在四邊形內(nèi)部 (不包括邊界 ),且 P到四邊形的兩個頂點的 距離相等 . (1)在圖甲中畫出一個 ?ABCD。. ∵ EF與☉ O相切 ,∴∠ FEO=90176。=45176。,則 ∠ MCD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。. ∵ OB=OC, 12 12∴∠ OBC=∠ OCB=30176。, 即 ∠ B與 ∠ C的度數(shù)之和為 120176。, ∴ AN=? AB=? ,∴ BN=? =? . 在 Rt△ BFN中 ,∵ FN=AN+AF=? +2=? ,BN=? ,∴ BF=? . 在等腰△ AFE中 ,AF=EF=2,∠ AFE=120176。,現(xiàn)用三根鋼條連接頂 點 ,使該鋼架不能活動 ,則所用三根鋼條總長度的最小值是 米 . ? ? 圖 1 圖 2 答案 (1)? (2)3? 837解析 (1)如圖 ,連接 FB=DF=3,又已知 FA =FE=2,∴ ? =? =? ,又 ∵∠ F=∠ F, ∴ △ FAE∽ △ FBD,∴ ? =? =? ,又 BD=4,∴ AE=? ,則點 A,E之間的距離是 ? 米 . ? (2)如圖 ,由題意可知 ,△ BAC≌ △ DEC(SAS),∴∠ BAC=∠ DEC,AC=EC,又 ∵ AF=FE,FC=FC,∴ △ ACF≌ △ ECF(SSS),∴∠ CAF=∠ CEF,∴∠ BAC+∠ CAF=∠ DEC+∠ CEF,即 ∠ BAF=∠ DEF= 120176。n,解得 n=6. 3.(2022湖州 ,11,4分 )已知一個多邊形的每一個外角都等于 72176。120176。第四章 圖形的認識 167。=60176。,則這個多邊形的邊數(shù)是 . 答案 5 解析 ∵ 一個多邊形的每一個外角都等于 72176。.∴∠ AFE=(62)180176。,可求得 AE=2? . 易知 ∠ BAE=90176。. (2)在△ BED和△ BEO中 , ? ∴ △ BED≌ △ BEO(SAS). ∴∠ BDE=∠ BOE. 12 12,B D B OE B D E B OB E B E???? ? ?????又 ∵∠ BCF=? ∠ BOE, ∴∠ BCF=? ∠ BDE. 如圖 ,連接 OC. 設 ∠ EAF=α,則 ∠ AFE=2∠ EAF=2α. 1212∴∠ EFC=180176。. ∴ BC=2BM=? BO=? BD, ∵ DG⊥ OB, ∴∠ HGB=∠ BAC=60176。 176。.故選 A. 4.(2022衢州 ,4,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,已知 AD=12 cm,AB=8 cm,AE平分 ∠ BAD交 BC邊于點 E, 則 CE的長等于 ? ( ) cm cm cm cm 答案 C ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ BC=AD=12 cm,AD∥ BC, ∴∠ DAE=∠ BEA, ∵ AE平分 ∠ BAD, ∴∠ BAE=∠ DAE, ∴∠ BEA=∠ BAE, ∴ BE=AB=8 cm, ∴ CE=BCBE=4 cm,故選 C. 解題關鍵 利用角平分線和平行四邊形的性質(zhì)得出 ∠ BEA=∠ BAE是解題的關鍵 . 1.(2022紹興 ,7,4分 )小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊 ,為了能在商店配到一 塊與原來相同的平行四邊形玻璃 ,他帶了兩塊碎玻璃 ,其編號應該是 ? ( ) ? A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 考點三 平行四邊形的判定 答案 D 帶①④不能確定平行四邊形任一邊長 。, ∴∠ COE+∠ FEO=180176。 (2)在圖乙中畫出一個四邊形 ABCD,使 ∠ D=90176。在第四次旋轉(zhuǎn)過程中 ,點 M在以點 E為圓心 ,? 為半徑 的圓弧上 ,BM的長由 ? 1逐漸變小為 2? ,然后逐漸變大為 ? 1。若不對 , 說明理由 。 當 AF∥ CE時 ,如圖 1, 則 ∠ AFE=∠ CEF,從而 ∠ AFD=∠ CEB, 又因為 ∠ ADF=∠ CBE,AD=BC, 所以△ AFD≌ △ CEB,則 AF=CE, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 C不符合題意 。 ② 求證 :PM+PN=3a。, 所以△ MAO≌ △ MO=GO. 又 ∠ MOG=60176。DE. ? 證明 (1)∵ OE=OB,∴∠ OBE=∠ OEB. ∵ 平行四邊形 ABCD的對角線相交于點 O, ∴ OB=OD. ∴ OE=OD.∴∠ ODE=∠ OED. 在△ BDE中 ,∵∠ OBE+∠ OEB+∠ OED+∠ ODE=180176。時 ,四邊形 ACED是正方形 ?請說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴ AD∥ BC. ∴∠ D=∠ OCE,∠ DAO=∠ E. 又 ∵ OC=OD,∴ △ AOD≌ △ EOC.? (4分 ) (2)當 ∠ B=∠ AEB=45176。 ② 若點 M,N中恰好只有一個點落在四邊形 ADEC的內(nèi)部 (不包括邊界 )時 ,直接寫出 S的取值范 圍 . ? 解析 (1)∵ OB=6,C是 OB的中點 ,