【正文】 N=? ,∴ BF=? . 在等腰△ AFE中 ,AF=EF=2,∠ AFE=120176。,∴ △ MBC為等邊三角形 . ∵∠ M+∠ MAF=180176。, 即 ∠ B與 ∠ C的度數(shù)之和為 120176?！?OAC∠ OCA=180176。. ∵ OB=OC, 12 12∴∠ OBC=∠ OCB=30176。 (2)請在圖 3中畫一個格點三角形 ,使它的面積為 ? ,且每條邊上除頂點外 無其他格點 . ? 圖 1 圖 2 圖 3 121272解析 (1)畫法不唯一 ,如圖①或圖② ,圖①②中的格點正方形的面積分別為 9,5. (2)畫法不唯一 ,如圖③ ,圖④ . ? 1.(2022麗水 ,7,3分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,連接 AC,∠ ABC=∠ CAD=45176。,則 ∠ MCD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 答案 A ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,∴∠ BCD=∠ A=135176。=45176。,☉ O(圓心 O在△ ABC內(nèi)部 )經(jīng)過 B、 C兩點 ,交 AB于點 E,過點 E作☉ O的切線交 AC于點 F,延長 CO交 AB于點 G,作 ED∥ AC交 CG于點 D. (1)求證 :四邊形 CDEF是平行四邊形 。. ∵ EF與☉ O相切 ,∴∠ FEO=90176。,∴ GH=BH,∴ CH=2BH. ∵ BC=3,∴ BH=GH=1, ∴ BG=? . CHGH2思路分析 (1)連接 EO,通過切線證明 EF∥ CO,結(jié)合 DE∥ CF證得四邊形 CDEF是平行四邊形 . (2)過 G作 GH⊥ BC,由 (1)可證明 ∠ CGH=∠ DEF,結(jié)合 tan∠ DEF=2,∠ B=45176。. 設(shè) DH=x,則 AH=? x,AD=2x, ∴ AM=4+2x,∴ BH=4+2x, 由 (2)已證四邊形 ABDE是平行四邊形 ,∴ FD∥ AB, ∴ ? =? ,即 ? =? , 解得 x=1+? 或 x=1? (不合題意 ,舍去 ). ∴ DH=1+? . 12123HFHA HDHB 33 x42x x?5 55關(guān)鍵提示 本題是平行四邊形的綜合題 ,考查平行四邊形的判定和性質(zhì) ,用到了三角形全等的 知識 .對于第 (3)問 ,關(guān)鍵是構(gòu)造三角形中位線 ,利用邊的關(guān)系得出含特殊角的直角三角形 . 4.(2022溫州 ,20,8分 )如圖 ,在方格紙中 ,點 A,B,P都在格點上 .請按要求畫出以 AB為邊的格點四邊 形 ,使 P在四邊形內(nèi)部 (不包括邊界 ),且 P到四邊形的兩個頂點的 距離相等 . (1)在圖甲中畫出一個 ?ABCD。 (2)如圖 3,在邊長為 1的小正方形組成的 55網(wǎng)格中 ,點 A、 C、 B都在格點上 ,在格點上找一點 D, 使以點 C與 BC、 CD、 DA的中點 F、 G、 H為頂點的四邊形 CFGH是正方形 ,畫出點 D,并求正方 形 CFGH的邊長 . 解析 (1)連接 BD,∵ C,H是 AB,AD的中點 , ∴ CH為△ ABD的中位線 , ? ∴ CH∥ BD且 CH=? BD, 同理 ,FG∥ BD且 FG=? BD, ∴ CH∥ FG且 CH=FG. ∴ 四邊形 CFGH為平行四邊形 . (2)點 D的位置如圖所示 . 連接 BD,則 FG是△ CBD的中位線 ,BD=? , 12125∴ FG=? BD=? , ∴ 正方形 CFGH的邊長為 ? . 12 5252方法指導(dǎo) (1)連接 BD,利用三角形中位線的性質(zhì)進行證明 . (2)聯(lián)想 (1)中圖形 ,D點需滿足 BD⊥ AB,進而利用勾股定理和三角形中位線性質(zhì)求解 . 1.(2022河北 ,16,2分 )已知正方形 MNOK和正六邊形 ABCDEF邊長均為 1,把正方形放在正六邊 形中 ,使 OK邊與 AB邊重合 ,如圖所示 ,按下列步驟操作 : 將正方形在正六邊形中繞點 B順時針旋轉(zhuǎn) ,使 KM邊與 BC邊重合 ,完成第一次旋轉(zhuǎn) 。在第三次旋 轉(zhuǎn)過程中 ,BM的長由 1逐漸變小為 ? 1。 (2)在 (1)的情形下 ,連接 OA=5,若扇形 OAD(∠ AOD180176。.甲、乙的說法對嗎 ?若對 ,求出邊數(shù) n。,∴ (n2)180=360. 解得 n=4.? (3分 ) ∵ θ=630176。 G、 H是 BC邊上的點 ,且 GH=? S1,S2分別表示△ EOF和△ GOH的面積 ,則 S1與 S2之間的等 量關(guān)系是 . ? 1213答案 2S1=3S2? 1 2 2 13223S S S S????????或 均 正 確解析 如圖 ,連接 AC,BD,交點為 O,∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 ,∴ AO=OC,∴ S△ ABO=S△ OBC,∵ EF =? AB,∴ S1=? S△ ABO,∵ GH=? BC,∴ S2=? S△ OBC,所以 2S1=3S2. ? 12 12 13 134.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 ,AE平分 ∠ BAD,交 DC的延長線于點 證 :DA=DE. 證明 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AB∥ CD.∴∠ BAE=∠ E. ∵ AE平分 ∠ BAD,∴∠ BAE=∠ DAE. ∴∠ E=∠ DAE,∴ DA=DE. 1.(2022安徽 ,9,4分 )?ABCD中 ,E,F是對角線 BD上不同的兩點 .下列條件中 ,不能 得出四邊形 AECF一定為平行四邊形的是 ? ( ) =DF =CF ∥ CE D.∠ BAE=∠ DCF 考點三 平行四邊形的判定 答案 B 當 BE=DF時 ,如圖 1, 易證△ AFD≌ △ CEB,△ ABE≌ △ CDF, 從而 AF=CE,AE=CF, 所以四邊形 AECF一定是平行四邊形 ,故 A不符合題意 。 (2)按嘉淇的想法寫出證明 。,解得 x=7,故選 D. 2.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,正六邊形 ABCDEF的邊長為 a,P是 BC邊上一動點 ,過 P作 PM∥ AB交 AF于 M,作 PN∥ CD交 DE于 N. (1)① ∠ MPN= 176。, 所以△ MAO≌ △ OM=ON.? (9分 ) ? 圖 2 (3)四邊形 OMGN是菱形 .理由如下 : 如圖 3,連接 OE、 OF,由 (2)知 ∠ MOA=∠ NOE. 因為 ∠ AOE=120176。,所以 ∠ MOA=∠ GOF. 又 AO=FO,∠ MAO=∠ GFO=60176。時 ,四邊形 BFDE為菱形 . 理由 :∵ △ DOE≌ △ BOF, ∴ BF=DE, 又 ∵ BF∥ DE, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形 , ∵ BO=DO, ∴ 當 ∠ DOE=90176。CE=CD. 又 ∵∠ CEO+∠ DEO=90176。 (2)連接 AC,DE,當 ∠ B=∠ AEB= 176。. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD. ∴∠ COE=∠ BAE=90176。 (3)在線段 PE上取點 F,使 PF=1,過點 F作 MN⊥ PE,截取 FM=2,FN=1,且點 M、 N分別在第一、四 象限 .在運動過程中 ,設(shè) ?PCOD的面積為 S. ① 當點 M,N中有一點落在四邊形 ADEC的邊上時 ,求出所有滿足條件的 t的值 。, ∴ 180176。,連接 AP39。+BP39。,∴∠ BAH=60176。,則它的內(nèi)角和等于 ? ( ) 176。 答案 C ∵ 多邊形的每個外角都等于 45176。=8, ∴ 這個多邊形的內(nèi)角和 =180176。180176。. ∵ AF∥ CD, ∴∠ F=∠ CDB=36176。5=108176。,∴∠ 1=∠ AEB=36176。,∠ DAB=105176。, 222AD CD?∴∠ BAC=∠ BCA=60176。OB=? ? ? +? 2? =1+? . 故箏形 ABCD的面積為 1+? . BOAO312 12 122 2123 33評析 (1)根據(jù)四邊形周長為四邊之和 ,可得 AB的長 . (2)連接 AC,根據(jù)等邊對等角證明 . (3)箏形 ABCD的面積等于兩個三角形面積的和 ,并說明 OB是 AC邊上的高 . 1.(2022紹興一模 )在平面直角坐標系中 ,已知點 A的坐標為 (1,2),將點 A向右平移 3個單位長度得 到點 B,點 A關(guān)于原點的對稱點為 C,若四邊形 ABCD為平行四邊形 ,則點 D的坐標為 . 考點二 平行四邊形 答案 (4,2) 解析 點 A(1,2)向右平移 3個單位長度得點 B(4,2), 點 A關(guān)于原點的對稱點為 C(1,2), 根據(jù)平行四邊形的中心對稱性知 ,點 D的坐標為 (4,2) 2.(2022濱江二模 ,16)?ABCD中 ,CD=2,BC=4,BD=2? ,對角線 AC,BD交于點 O,將△ CDO繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) ,使點 D落在 AD上的 D39。的面積是 . ? 3答案 ? 33解析 過點 P作 PH垂直 OD39。. 又 ∵ DO=OD39。D39。OHOD即 ? =? , 解得 x=? , ∴ S△ OPD39。,且 AC=BD,則四邊形 ABCD是矩形 AC⊥ BD,則四邊形 ABCD是菱形 AB=CD且 AC⊥ BD,則四邊形 ABCD是正方形 考點三 平行四邊形的判定 答案 B BC=AD,則四邊形 ABCD可能為等腰梯形 。 (2)畫出一個角等于已知角 α。,則其內(nèi)角為 (180x)176。和 CD相交于點 :OD=OB39。. ∵ 在平行四邊形 ABCD中 ,AB∥ CD, ∴∠ BAC=∠ DCA,∴∠ DCA=∠ B39。 (2)若四邊形 ABCD為菱形 ,求 ∠ ABC的度數(shù) . 解析 (1)證明 :∵ EF∥ MN, ∴∠ ACN=∠ EAC, ∵ CB平分 ∠ ACN,AD平分 ∠ EAC, ∴∠ ACB=? ∠ ACN,∠ DAC=? ∠ EAC, ∴∠ ACB=∠ DAC, ∴ AD∥ BC,又 DC∥ AB, ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 . (2)∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴∠ DAC=∠ CAB, ∵∠ EAD=∠ DAC, ∴∠ DAC=∠ EAD=∠ CAB=? 1801