【正文】 。,∠ DEC=∠ A=60176。, ∴ △ CDE為等邊三角形 , ∴ DE=CD=2.? (4分 ) ∵ EF⊥ DE,∴∠ DEF=90176。, 在 Rt△ DEF中 ,EF=DEtan 60176。=2? .? (6分 ) 31.(2022湖北黃岡 ,5,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,CD為 AB邊上的高 ,CE為 AB邊上的中 線 ,AD=2,CE=5,則 CD=? ( ) ? ? 3考點二 直角三角形 答案 C 在 Rt△ ABC中 ,因為 CE為 AB邊上的中線 ,所以 AB=2CE=25=10,又 AD=2,所以 BD=8, 易證△ ACD∽ △ CBD,則 CD2=ADDB=28=16,所以 CD=4,故選 C. 2.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。B39。C39。拼在一起 ,其中點 A39。與 點 A重合 ,點 C39。落在邊 AB上 ,連接 B39。 ∠ ACB=∠ AC39。B39。=90176。,AC=BC=3,則 B39。C的長為 ? ( ) ? ? ? D.? 3 2 21答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。B39。C39。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? ,∴ AB39。=3? ,在△ AB39。C中 ,易知 ∠ CAB39。=90176。,∴ △ AB39。C是直角三角形 ,∴ B39。C=? =3? . 22 223 (3 2)? 33.(2022四川南充 ,7,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=30176。,BC=1,點 D,E分別是直角邊 BC,AC的中點 , 則 DE的長為 ? ( ) ? C.? +? 3 3答案 A 在 Rt△ ABC中 ,∵∠ A=30176。,BC=1,∴ AB=2. ∵ 點 D,E分別是 BC,AC的中點 , ∴ DE=? AB=? 2=1. 12 124.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BC=2? ,AC=2,點 D是 BC的中點 ,點 E是邊 AB上一動點 ,沿 DE所在直線把△ BDE翻折到△ B39。DE的位置 ,B39。D交 AB于點 △ AB39。F為 直角三角形 ,則 AE的長為 . ? 3答案 3或 解析 易知 ∠ B39。AF不可能為直角 . 當 ∠ B39。FA是直角時 ,如圖 1, ? 圖 1 ∵∠ C是直角 ,∠ ABC=∠ DBF,∴ △ BCA∽ △ BFD,∴ ? =? ,又 ∵ BC=2? ,且易知 BD=? ,AB =4,∴ BF=? 2? =? ,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。E,∴ BE=B39。E,∠ EB39。F=∠ ABD=30176。,∴ BE=EB39。= 2EF,∴ BE=? BF=1,∴ AE=41=3. BFBC BDBA 3 33433223? 圖 2 連接 B39。C、 AD、 BB39。,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。E,∴ B39。D=BD=? BC=CD,∴∠ BB39。C=90176。,∵∠ FB39。 A =∠ ACD=90176。,∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AB39。D,∴ AC=AB39。,又易證 ∠ DB39。B =∠ CB39。A,∴ △ DB39。B∽ △ AB39。 C,∴ ? =? =? ,又 ? =? ,故可證△ BB39。C∽ △ DCA,∴∠ CDA=∠ B39。BC,∴ AD∥ BB39。,延長 DE 交 BB39。于 M,可得 ? =? =? (*),易知 DM垂直平分 BB39。,∴ BM=? BB39。,在直角三角形 BB39。C中 , 由 BB39。2+B39。C2=BC2=12,? =? ,可求得 BB39。=? ,∴ BM=? .在直角三角形 DCA中 ,DA= 1239。39。BBBCBDCA 32 DCCA 32ADBM AEBE 4 AEAE? 1239。39。BBBC32 677 377當 ∠ FB39。A是直角時 ,如圖 2, 疑難突破 本題的難點是 ∠ FB39。A為直角時如何求 AE,突破方法是作出輔助線 B39。C、 AD、 BB39。, 并根據(jù)翻折證明△ BB39。C∽ △ DCA,然后利用相似比求出 AE. ? =? ,將 BM=? ,AD=? 代入 (*)可得 AE=. 綜上 ,AE=3或 . 222 ( 3)? 7 37775.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=3,點 P為邊 BC的三等 分點 ,連接 AP,則 AP的長為 . 答案 ? 或 ? 10 13解析 當 CP=1時 ,根據(jù)勾股定理得 AP=? =? 。當 CP=2時 ,根據(jù)勾股定理得 AP= ? =? =? ,故 AP的長為 ? 或 ? . 2231? 1022AC CP? 2232? 13 10 136.(2022遼寧沈陽 ,16,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,BC=20,DE是△ ABC的中位線 .點 M是邊 BC上一點 ,BM=3,點 N是線段 MC上的一個動點 ,連接 DN,ME,DN與 ME相交于點 △ OMN是直角三角形 ,則 DO的長是 . ? 答案 ? 或 ? 256 5013解析 ∵∠ A=90176。,AB=AC,BC=20, ∴ AB=AC=10? , ∵ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE∥ BC,DE=? BC=10,BD=CE=5? . ① 當 DN⊥ BC時 ,△ OMN為直角三角形 (如圖 ), 易知△ BDN為等腰直角三角形 , ∴ BN=DN=5, ∵ BM=3, ∴ MN=2, ∵ DE∥ BC, ∴ △ ODE∽ △ ONM, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 OD=? . 2122ODON DENM 5 ODOD? 102 256② 當 DN⊥ ME時 ,△ OMN為直角三角形 (如圖 ),過點 E作 EF⊥ BC,垂足為點 F. 易知△ CEF為等腰直角三角形 , ∴ EF=FC=5, ∵ BM=3,∴ MF=2035=12, 在 Rt△ MFE中 ,ME=? =? =13, ∵ DE∥ BC,∴∠ DEO=∠ EMF, ∵∠ DOE=∠ EFM=90176。, ∴ △ ODE∽ △ FEM, ∴ ? =? ,即 ? =? , 22EF MF? 225 12?ODFE DEEM 5OD1013解得 OD=? . 綜上所述 ,DO的長是 ? 或 ? . 5013256 5013評析 對于幾何探究型問題 ,分類討論思想是重點考查內(nèi)容 .本題中 ,要對△ OMN分兩種情況 進行討論 ,一是 ∠ ONM為直角時 ,二是 ∠ MON為直角時 . 7.(2022山東聊城 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ A=30176。,BD是 ∠ ABC的平分線 .若 AB=6,則 點 D到 AB的距離是 . ? 答案 ? 3解析 ∵∠ C=90176。,∠ A=30176。,AB=6, ∴∠ ABC=60176。,BC=3, ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ CBD=? ∠ ABC=30176。,點 D到 AB的距離等于 DC, 在 Rt△ BDC中 ,DC=tan∠ DBCBC=? 3=? , ∴ 點 D到 AB的距離等于 ? . 1233338.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,P是線段 BC上一動點 (與點 B,C不重合 ), 連接 AP,延長 BC至點 Q,使得 CQ=CP,過點 Q作 QH⊥ AP于點 H,延長交 AB于點 M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系 ,并證明 . ? 解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。,∴∠ PAB=45176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176?！?PAB=45176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過點 M作 MN⊥ BQ于點 N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP,∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。+∠ QAC=45176。+∠ PAC=∠ AMQ, ∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。, 22∴∠ MQN=∠ PAC, ∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關(guān)鍵 解決本題第 (2)問的關(guān)鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關(guān)系 . 9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。,D為 AB邊上一點 . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。, ∴∠ EAD=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) 考點一 等腰三角形 C組 教師專用題組 1.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且△ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過點 P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN,∠ MPN=60176。,則△ PMN為等邊三角形 ,因為滿足 CM=DN的 M,N有無數(shù)個 ,所以滿足題意的三角形 有無數(shù)個 . ? 2.(2022吉林長春 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,過點 A作 AD∥ ∠ 1=70176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C. ∵ AD∥ BC, ∴∠ 1=∠ C=70176。. ∴∠ B=70176。. ∴∠ BAC=40176。.故選 B. 3.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,△ AOB為等腰三角形 ,頂點 A的坐標為 (2,? ),底邊 OB在 x軸上 .將 △ AOB繞點 B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△ A39。O39。B,點 A的對應(yīng)點 A39。在 x軸上 ,則點 O39。的坐標 為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 0 1 0,33??????1 6 4 5,33??????2 0 4 5,33??????16, 4 33??????答案 C 過 A作 OB邊的垂線 AC,垂足為 C,過 O39。作 BA39。邊的垂線 O39。D,垂足為 D,因為頂點 A 的坐 標為 (2,? ),所以 C點坐標為 (2,0),所以 OC=2,AC=? ,在 Rt△ OAC中 ,根據(jù)勾股定理得 OA=3,所 以 AB=△ AOB為等腰三角形 ,所以 C為 OB的中點 ,所以 B點坐標為 (4,0),故 BO39。=BO= Rt △ O39。BD和 Rt△ O39。A39。D中 ,O39。B2BD2=O39。A39。2A39。 BD=x,則有 42x2=32(3x)2,解得 x=? ,所以 BD=? ,所 以 O39。D=? ,又 OD=4+? =? ,故 O39。點的坐標為 ? ,故選 C. ? 5 583 83453 83