【正文】 片正面上的圖案是“ ? ” ,1張卡片正面上的圖案 是“ ? ” ,它們除此之外完全相同 .把這 4張卡片背面朝上洗勻 ,從中隨機(jī)抽取兩張 ,則這兩張卡 片正面圖案相同的概率是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 91634 38 12答案 D 記圖案“ ? ”為字母“ a”,圖案“ ? ”為字母“ b”,畫樹狀圖如下 . ? 共有 12種等可能的結(jié)果 ,其中兩張卡片正面圖案相同的結(jié)果有 6種 ,則所求概率為 ? =? .故選 D. 612122.(2022湖北武漢 ,8,3分 )一個(gè)不透明的袋中有四張完全相同的卡片 ,把它們分別標(biāo)上數(shù)字 ,然后放回 ,再隨機(jī)抽取一張卡片 ,則兩次抽取的卡片上數(shù)字之積為 偶數(shù)的概率是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 14 12 34 56答案 C 畫樹狀圖為 ? 易知共有 16種等可能的結(jié)果 ,其中兩次抽取的卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的結(jié)果有 12種 ,所以兩次 抽取的卡片上數(shù)字之積為偶數(shù)的概率 P=? =? .故選 C. 1216343.(2022山東威海 ,10,3分 )甲、乙兩布袋都裝有紅、白兩種小球 ,兩袋裝球總數(shù)相同 ,兩種小球 僅顏色不同 .甲袋中 ,紅球個(gè)數(shù)是白球個(gè)數(shù)的 2倍 。乙袋中 ,紅球個(gè)數(shù)是白球個(gè)數(shù)的 3倍 .將乙袋中 的球全部倒入甲袋 ,隨機(jī)從甲袋中摸出一個(gè)球 ,摸出紅球的概率是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 5127172425答案 C 設(shè)甲袋中白球的個(gè)數(shù)為 x,那么紅球的個(gè)數(shù)為 2x。乙袋中白球的個(gè)數(shù)為 y,那么紅球的 個(gè)數(shù)為 ,得 3x=4y,球的總個(gè)數(shù)為 3x+4y,紅球的總個(gè)數(shù)為 2x+3y,則將乙袋中的球全部 倒入甲袋 ,隨機(jī)從甲袋中摸出一個(gè)球 ,摸出紅球的概率是 ? =? =? .故選 C. 2334xy??4344yyyy???17244.(2022浙江杭州 ,9,3分 )讓圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次 ,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) ,兩個(gè)指針?lè)謩e 落在某兩個(gè)數(shù)所表示的區(qū)域 ,則這兩個(gè)數(shù)的和是 2的倍數(shù)或是 3的倍數(shù)的概率等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 31638 581316答案 C 共有 16種等可能情況 ,這兩個(gè)數(shù)的和是 2的倍數(shù)或是 3的倍數(shù)的有 :1+1=2,1+2=3,1+3 =4,2+1=3,2+2=4,2+4=6,3+1=4,3+3=6,4+2=6,4+4=8,共 10種 , 其概率為 ? =? ,故選 C. 10585.(2022北京 ,14,2分 )從甲地到乙地有 A,B,C三條不同的公交線路 .為了解早高峰期間這三條線 路上的公交車從甲地到乙地的用時(shí)情況 ,在每條線路上隨機(jī)選取了 500個(gè)班次的公交車 ,收集 了這些班次的公交車用時(shí) (單位 :分鐘 )的數(shù)據(jù) ,統(tǒng)計(jì)如下 : 公交車用時(shí)公交車用 時(shí)的頻數(shù)線路 30≤ t ≤ 35 35t ≤ 40 40t ≤ 45 45t ≤ 50 合計(jì) A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期間 ,乘坐 (填“ A”“B”或“ C”)線路上的公交車 ,從甲地到乙地“用時(shí)不 超過(guò) 45分鐘”的可能性最大 . 答案 C 解析 由表格可知 ,A、 B、 C三條線路不超過(guò) 45分鐘的頻數(shù)分別為 37 22 2223 76477,所以從甲地到乙地“用時(shí)不超過(guò) 45分鐘”可能性最大的是乘坐 C線路上的公交車 . 思路分析 本題需要通過(guò)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算用時(shí)不超過(guò) 45分鐘的頻數(shù)和 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要通過(guò)表格中的數(shù)據(jù)算出每條線路上 500個(gè)班次的公交車中用 時(shí)不超過(guò) 45分鐘的頻數(shù) . 6.(2022四川成都 ,22,4分 )漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解 《 周髀算經(jīng) 》 時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國(guó) 古代數(shù)學(xué)的瑰寶 .如圖所示的弦圖中 ,四個(gè)直角三角形都是全等的 ,它們的兩直角邊之比均為 2∶ ,則針尖落在陰影區(qū)域的概率為 . ? 答案 ? 1213解析 設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是 2x,3x(x0),則題圖中大正方形邊長(zhǎng)是 ? x,小正方 形邊長(zhǎng)為 x,∴ S大正方形 =13x2,S小正方形 =x2,則 S陰影 =12x2,∴ P(針尖落在陰影區(qū)域 )=? =? . 13221213xx7.(2022河南 ,12,3分 )在“陽(yáng)光體育”活動(dòng)時(shí)間 ,班主任將全班同學(xué)隨機(jī)分成了 4組進(jìn)行活動(dòng) ,該 班小明和小亮同學(xué)被分在同一組的概率是 . 答案 ? 14解析 設(shè) 4個(gè)組分別是 1,2,3,4,畫樹狀圖如下 . ? 共有 16種等可能的結(jié)果 ,其中小明和小亮同學(xué)被分在同一組的情況有 4種 ,所以小明和小亮同 學(xué)被分在同一組的概率 P=? =? . 416148.(2022廣西南寧 ,16,3分 )如圖 ,在 44正方形網(wǎng)格中 ,有 3個(gè)小正方形已經(jīng)被涂黑 ,若再涂黑任意 一個(gè)白色的小正方形 (每一個(gè)白色的小正方形被涂黑的可能性相同 ),使新構(gòu)成的黑色部分的 圖形是軸對(duì)稱圖形的概率是 . ? 答案 ? 313解析 如圖 ,若使新涂黑的小正方形與原來(lái)的三個(gè)黑色小正方形構(gòu)成軸對(duì)稱圖形 ,則只能涂圖 中的 3處的白色小正方形 .故所求概率為 ? . ? 3139.(2022湖南郴州 ,15,3分 )在 m2□ 6m□ 9的“ □ ”中任意填上“ +”或“ ”,所得的代數(shù)式為完 全平方式的概率為 . 答案 ? 12解析 畫樹狀圖如下 : ? 由圖可知 ,共有 4種等可能的結(jié)果 ,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)方框中填“ +”或“ ”,第二個(gè)方框中填“ +”時(shí) , 所得的代數(shù)式為完全平方式 ,所以所求概率為 ? =? . 241210.(2022遼寧沈陽(yáng) ,19,8分 )經(jīng)過(guò)校園某路口的行人 ,可能左轉(zhuǎn) ,也可能直行或右轉(zhuǎn) .假設(shè)這三種可 能性相同 ,現(xiàn)有小明和小亮兩人經(jīng)過(guò)該路口 ,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法 ,求兩人之中至少有一人 直行的概率 . 解析 依據(jù)題意 ,列表得 小亮 小明 左轉(zhuǎn) 直行 右轉(zhuǎn) 左轉(zhuǎn) (左轉(zhuǎn) ,左轉(zhuǎn) ) (左轉(zhuǎn) ,直行 ) (左轉(zhuǎn) ,右轉(zhuǎn) ) 直行 (直行 ,左轉(zhuǎn) ) (直行 ,直行 ) (直行 ,右轉(zhuǎn) ) 右轉(zhuǎn) (右轉(zhuǎn) ,左轉(zhuǎn) ) (右轉(zhuǎn) ,直行 ) (右轉(zhuǎn) ,右轉(zhuǎn) ) 或畫樹狀圖得 ? 由表格 (或樹狀圖 )可知 ,共有 9種可能出現(xiàn)的結(jié)果 ,每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 ,其中兩人中至 少有一人直行的結(jié)果有 5種 ,分別為 (左轉(zhuǎn) ,直行 ),(直行 ,左轉(zhuǎn) ),(直行 ,直行 ),(直行 ,右轉(zhuǎn) ),(右轉(zhuǎn) ,直 行 ).∴ P(兩人中至少有一人直行 )=? . 5911.(2022重慶 ,20,8分 )某初中學(xué)校舉行毛筆書法大賽 ,對(duì)各年級(jí)同學(xué)的獲獎(jiǎng)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì) ,并 繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖 ,請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)解答下列問(wèn)題 : ? (1)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全 。 (2)獲得一等獎(jiǎng)的同學(xué)中有 ? 來(lái)自七年級(jí) ,有 ? 來(lái)自八年級(jí) ,其他同學(xué)均來(lái)自九年級(jí) .現(xiàn)準(zhǔn)備從獲 14 14得一等獎(jiǎng)的同學(xué)中任選兩人參加市內(nèi)毛筆書法大賽 ,請(qǐng)通過(guò)列表或畫樹狀圖求所選出的兩人 中既有七年級(jí)又有九年級(jí)同學(xué)的概率 . 解析 (1)10247。25%=40,40861210=4(人 ). 故獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為 4. 補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖 ,如圖所示 .? (4分 ) ? (2)由 (1)得 ,七年級(jí)有 1人獲得一等獎(jiǎng) ,八年級(jí)有 1人獲得一等獎(jiǎng) ,九年級(jí)有 2人獲得一等獎(jiǎng) ,設(shè)七 年級(jí)同學(xué)為甲 ,八年級(jí)同學(xué)為乙 ,九年級(jí)同學(xué)為丙、丁 ,則用如圖所示的樹狀圖列舉出所有可能 出現(xiàn)的結(jié)果 , ? ? (6分 ) 或用表格列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果 . (6分 ) 由上可知 ,出現(xiàn)等可能的結(jié)果共 12種 ,其中既有七年級(jí)同學(xué)又有九年級(jí)同學(xué)的結(jié)果有 4種 ,所以 P(所選出的兩人中既有七年級(jí)同學(xué)又有九年級(jí)同學(xué) )=? =? .? (8分 ) 第二個(gè)人 結(jié)果 第一個(gè)人 甲 乙 丙 丁 甲 (甲 ,乙 ) (甲 ,丙 ) (甲 ,丁 ) 乙 (乙 ,甲 ) (乙 ,丙 ) (乙 ,丁 ) 丙 (丙 ,甲 ) (丙 ,乙 ) (丙 ,丁 ) 丁 (丁 ,甲 ) (丁 ,乙 ) (丁 ,丙 ) 41213思路分析 (1)先利用獲得參與獎(jiǎng)的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù) ,再計(jì)算出獲 得一等獎(jiǎng)的人數(shù) ,然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖 。 (2)畫樹狀圖或列表表示所有等可能的結(jié)果數(shù) ,再找出所選出的兩人中既有七年級(jí)同學(xué)又有九 年級(jí)同學(xué)的結(jié)果數(shù) ,然后利用概率公式求解 . 方法指導(dǎo) 解決此類題的方法 ,通常是結(jié)合兩種統(tǒng)計(jì)圖 ,對(duì)照統(tǒng)計(jì)圖中各已知量 ,分析要求解的 量 .一般地 ,先求出總量 ,再由總量及每一部分中的一個(gè)已知量求出另一個(gè)未知量 ,由此逐一求 出所有的未知量 ,從而由所得結(jié)果補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖 . 解題關(guān)鍵 讀懂統(tǒng)計(jì)圖 ,從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 . 12.(2022吉林 ,17,5分 )在一個(gè)不透明的盒子中裝有三張卡片 ,分別標(biāo)有數(shù)字 1,2,3,這些卡片除數(shù) 字不同外其余均相同 .小吉從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片記下數(shù)字后放回 ,洗勻后再隨機(jī)抽取一 張卡片 .用畫樹狀圖或列表的方法 ,求兩次抽取的卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)的概率 . 解析 解法一 :根據(jù)題意 ,可以畫出如下樹狀圖 : ? (3分 ) 從樹狀圖可以看出 ,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有 9個(gè) ,且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 ,其中兩次抽 取的卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有 4個(gè) , 所以 P(兩次抽取的卡片上數(shù)字之和為奇數(shù) )=? .? (5分 ) 解法二 :根據(jù)題意 ,列表如下 : 49(3分 ) 從表中可以看出 ,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有 9個(gè) ,且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 ,其中兩次抽取 的卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有 4個(gè) , 所以 P(兩次抽取的卡片上數(shù)字之和為奇數(shù) )=? .? (5分 ) 49 第一次 和 第二次 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 考點(diǎn)三 用頻率估計(jì)概率 1.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,5,3分 )某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí) ,統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果 出現(xiàn)的頻率 ,繪制了如下折線統(tǒng)計(jì)圖 ,則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是 ? ( ) ? 3個(gè)紅球和 2個(gè)黃球 ,從中隨機(jī)取一個(gè) ,取到紅球 ,向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù) ,兩次都出現(xiàn)反面 ,兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和是 7或超過(guò) 9 答案 D 從統(tǒng)計(jì)圖中可以看出頻率在 ? 上下浮動(dòng) ,則可以估計(jì)事件發(fā)生的概率為 ? .選項(xiàng) A,取 到紅球的概率為 ? =? 。選項(xiàng) B,向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率為 ? =? 。選項(xiàng) C,兩次都出現(xiàn)反 面的概率為 ? 。選項(xiàng) D,兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和是 7或超過(guò) 9的概率為 ? =? .故選 D. 13 13323?35 3612146636?132.(2022北京 ,10,3分 )下圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒卧囼?yàn)的結(jié)果 . ? 下面有三個(gè)推斷 : ① 當(dāng)投擲次數(shù)是 500時(shí) ,計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是 308,所以“釘尖向上”的概率是 16。 ② 隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加 ,“釘尖向上”的頻率總在 ,顯示出一定的穩(wěn)定性 ,可以 估計(jì)“釘尖向上”的概率是 。 ③ 若再次用計(jì)算機(jī)模擬此試驗(yàn) ,則當(dāng)投擲次數(shù)為 1 000時(shí) ,“釘尖向上”的概率一定是 . 其中合理的是 ? ( ) A.① B.② C.①② D.①③ 答案 B ①不合理 ,“釘尖向上”的頻率 。易知②合理 。③ 不合理 . 3.(2022湖北武漢 ,12,3分 )下表記錄了某種幼樹在一定條件下移植成活情況 : 由此估計(jì)這種幼樹在此條件下移植成活的概率約是 (精確到 ). 移植總數(shù) n 400 1 500 3 500 7 000 9 000 14 000 成活數(shù) m 325 1 336 3 203 6 335 8 073 12 628 成活的頻率 (精確到 ) 答案 解析 大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下 ,頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值 ,所以這種幼樹在此條件 下移植成活的概率約為 . 4.(2022甘肅蘭州 ,18,4分 )在一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的 n個(gè)小球 ,其