參考論文1-易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)-文庫吧
2025-06-04 18:01 本頁面
【正文】 的厚度()易拉罐底蓋的厚度()易拉罐罐壁的厚度()易拉罐中間柱體的半徑（）易拉罐頂蓋的半徑()易拉罐底蓋的半徑()易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離()易拉罐底端到圓柱部分底端的垂直距離()易拉罐底蓋的拱高()二、易拉罐為正圓柱體時(shí)的最優(yōu)模型模型Ⅰ的分析、建立與求解。根據(jù)任務(wù)2給出的信息，將飲料罐假設(shè)為正圓柱體，如圖二所示。圖二事實(shí)上由于制造工藝等要求，它不可能正好是數(shù)學(xué)上的正圓柱體，但這樣簡化問題確實(shí)是近似的、合理的。要求飲料罐容積一定時(shí)，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。在這種簡化下顯然有==，由假設(shè)得到 。由于易拉罐上底和下底的強(qiáng)度必須要大一點(diǎn)（經(jīng)千分卡尺的實(shí)際測量結(jié)果為：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍；材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)理論知識告訴我們二向應(yīng)力中，上、下底所受的應(yīng)力是罐壁所受應(yīng)力的2倍），因而在制造中，上、下底的厚度為罐的其它部分厚度的2倍，即==2。因而制罐用材的總體積為：注意：易拉罐側(cè)面材料的體積應(yīng)為 ，因?yàn)?測量所得=)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于(測量所得=)，所以可以忽略, 于是我們建立了以下A為目標(biāo)函數(shù)，是約束條件的數(shù)學(xué)模型： 其中是已知的（由模型假設(shè)可知）。從解出，代入A，使原問題化為求使A最小，即，求使最小。 應(yīng)用不等關(guān)系式：，＞0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。于是有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，再由，得 即總罐高應(yīng)為半徑的4倍，這是易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。這與用千分尺所測得幾乎完全一致。這一結(jié)果同時(shí)也驗(yàn)證了我們所測量的可口可樂易拉罐高度與半徑尺寸設(shè)計(jì)的合理性。三、易拉罐為正圓臺與正圓柱體組合的最優(yōu)模型與模型Ⅰ類似，模型Ⅱ是模型Ⅰ的深入。根據(jù)任務(wù)2給出的信息，將易拉罐的外形看成兩部分（如圖三）：一部分是一個(gè)正圓臺，另一部分是一個(gè)正圓柱體。圖三要求飲料罐容積一定時(shí)，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。在這種形狀下還是==2，根據(jù)圓臺的體積公式得到罐裝飲料正圓臺部分的體積=，從而得到易拉罐的體積為 =。 易拉罐上、下底的厚度為罐的其它部分厚度的2倍。制罐用材的總體積為： A= 建立以下的數(shù)學(xué)模型：= 利用LINGO數(shù)學(xué)軟件（見附件一）算得：這就是圖三所示易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。我們可以很清晰的看到除了易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離()與實(shí)際所測得的數(shù)據(jù)相差較大外,其余幾項(xiàng)仍然與我們所測量的數(shù)據(jù)相吻合。如果不忽略易拉罐側(cè)面的厚度，并將易拉罐整體看成有兩個(gè)規(guī)格形狀一樣、大小不一（一個(gè)稍大的在外面、一個(gè)稍小的在里面）緊密的疊套在一起的物體，制作易拉罐所用材料的總體積就相當(dāng)于外面稍大物體的總體積減去里面稍小物體的總體積，即 =[] 但是，所以在計(jì)算制作易拉罐所用材料的總體積時(shí)忽略了，采用了表面積乘以厚度等于總體積的方法來計(jì)算制作易拉罐所用材料的總體積，即=。由于在模型中采用了簡單的計(jì)算體積方法（，體積等于面積乘以厚），并且在計(jì)算過程中總會出現(xiàn)誤差，不是那么精確，所以導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果和所測得的數(shù)據(jù)有一點(diǎn)點(diǎn)的出入。但為什么計(jì)算所得的易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離和所測得到的數(shù)據(jù)會相差這么大？我們對此問題進(jìn)行了思考，再借助對可口可樂飲料罐的
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