【正文】 軸，半徑為a，長度為2b的圓柱狀二類超導(dǎo)體組成的懸浮系統(tǒng)，以永磁體上表面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系(ρ, θ, z)，矢徑處的磁矢勢與電流密度同為φ方向，可通過積分半徑為RPM 長度為tPM的通電螺線管產(chǎn)生的矢勢得到 （1）其中是永磁體的剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度，則磁場的徑向分量為 （2）其中和分別為k的第一類和第二類完全橢圓積分 ， （3）其中模數(shù) , ，為中與在水平面上的夾角。磁感應(yīng)強(qiáng)度的軸向分量為（4） 圖1 永磁系統(tǒng)位形示意圖 圖2 圓柱形永磁體的磁場分布即可得到永磁體磁場的空間分布。2. 邁斯納表面電流 對(duì)于第一類超導(dǎo)體，由于超導(dǎo)態(tài)與正常態(tài)的界面能是正值，所以隨著外磁場由零逐漸增大，只要外磁場強(qiáng)度不大于臨界磁場，超導(dǎo)體表面的邁斯納抗磁電流一直增大，將超導(dǎo)體內(nèi)部的磁場全部排出超導(dǎo)體內(nèi)（除表面穿透層外），使體系的總能量最小，而二類超導(dǎo)體的表面能為負(fù)值，從能量上似乎要求界面越長越好，但當(dāng)外磁場較小時(shí)（小于下臨界磁場，即第一個(gè)渦旋產(chǎn)生所對(duì)應(yīng)的外磁場），只能夠產(chǎn)生邁斯納抗磁表面電流，因?yàn)檫~斯納電流和成核的渦旋由于超導(dǎo)體表面鏡像與渦旋的相互作用，對(duì)渦旋由表面電流進(jìn)入到超導(dǎo)體內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生一個(gè)排斥力，形成一個(gè)勢壘（并且這個(gè)勢壘對(duì)于渦旋進(jìn)入和排出的過程是不對(duì)稱的），阻礙渦旋的進(jìn)入，因而此時(shí)，超導(dǎo)體的抗磁性以及與外場的相互作用所造成的懸浮力完全由邁斯納表面抗磁電流承擔(dān)，并且由于邁斯納抗磁電流的可逆性，其與外場相互作產(chǎn)生懸浮力是可逆的，即如果再逆向減小外磁場，其磁化曲線重合，如果磁場的變化是由永磁體的靠近與遠(yuǎn)離產(chǎn)生的，則相互作用力與距離的關(guān)系是可逆的。 對(duì)于第二類超導(dǎo)體，當(dāng)外磁場小于下臨界場時(shí)，邁斯納抗磁電流隨著外磁場的增大而磁大，但當(dāng)外磁場等于下臨界場時(shí)，邁斯納電流變得不穩(wěn)定，最終在微小擾動(dòng)的誘導(dǎo)下促使磁通量子渦旋成核并在超導(dǎo)體內(nèi)擴(kuò)散，而邁斯納表面抗磁電流也達(dá)到飽和，不會(huì)再隨著外磁場的變化而變化。3. 理想二類超導(dǎo)渦旋的分布 對(duì)于二類超導(dǎo)體，當(dāng)外磁場大于下臨界場時(shí)，邁斯納表面電流不再變化，由于界面能為負(fù)，超導(dǎo)正常態(tài)界面長度的增加在能量上是有利的，并且，由于量子力學(xué)的磁通量子化，此后，超導(dǎo)體內(nèi)不斷增大的磁通量便以單個(gè)磁通量子的形式，由邁斯納表面電流內(nèi)部成核，并克服表面勢壘，進(jìn)入超導(dǎo)體內(nèi)部，并在瞬間形成六角形的規(guī)則排布，不會(huì)造成平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的非均勻分布，此時(shí)，根據(jù)麥克斯韋方程，均勻分布的渦旋磁通量子只有在渦旋分布的邊緣產(chǎn)生順磁電流，從而此時(shí)磁通量子渦旋與外磁場的相互作用是吸引力，這與從單個(gè)磁通渦旋電流與外場相互作用產(chǎn)生的吸引力是一致的，而表面邁斯納抗磁電流與外場的相互作用是排斥力，隨著超導(dǎo)體內(nèi)部磁通渦旋的數(shù)上目逐漸增多，需要表面抗磁電流抵消的外磁場逐漸減小，邁斯納抗磁電流隨之減小，排斥力減小，而吸此力增大，當(dāng)外磁場處于某個(gè)臨界值時(shí)，恰好是兩者的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，隨后，整體上，超導(dǎo)體與產(chǎn)生外磁場的永磁體之間便會(huì)相互吸引，直至單個(gè)渦旋的正常態(tài)芯相互接觸，直至外磁場完全穿透整個(gè)超導(dǎo)體，表面抗磁電流隨之消失，吸引力也隨之消失。 圖3 單個(gè)磁通量子渦旋的結(jié)構(gòu) 圖4 理想二類超導(dǎo)體渦旋均勻分布示意圖 磁通線在二類超導(dǎo)體中的穿透在磁通渦旋的內(nèi)部產(chǎn)生正常態(tài)的芯（如圖1所示），隨著外磁場的增加，渦旋與渦旋之間的排斥力，使得磁通量子渦旋逐漸向超導(dǎo)體內(nèi)部移動(dòng)，而渦旋中心正常態(tài)芯的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起能量的耗散，由此看出，渦旋的運(yùn)動(dòng)是造成磁滯能量損失的根本來源，與二類超導(dǎo)體內(nèi)部有沒有缺陷沒有關(guān)系，而且即使是對(duì)于沒有任何缺陷的理想二類超導(dǎo)體，在變化的外磁場中也會(huì)產(chǎn)生磁滯能量損失，（接下來我們將會(huì)看到材料中的缺陷如果對(duì)超導(dǎo)體的磁化曲線和力距離曲線產(chǎn)生影響），同樣，如果將這個(gè)過程反過來，即外磁場隨后再逆向減小到零，其磁化曲線便由三部分構(gòu)成，其一是表面抗磁電流的可逆部分，其二是渦旋運(yùn)動(dòng)所造成的不可逆部分，第三部分便是由于表面勢壘對(duì)于渦旋進(jìn)入和排出過程的不對(duì)稱性造成的不可逆性。 圖5 理想二類超導(dǎo)體中渦旋分布隨外磁場逐漸增大的過程中的變化4. 非理想二類超導(dǎo)渦旋的分布 上面我們簡要敘述了理想二類超導(dǎo)體的磁化行為，而實(shí)際的超導(dǎo)體都不會(huì)是完全理想的超導(dǎo)體，其內(nèi)部存在各種各樣的缺陷和雜質(zhì)，如：雜質(zhì)(impurities)，空位(vacancies)，位錯(cuò)(dislocations)，雙晶(twins)，堆垛(stacking faults)，局部缺陷(local defects)，超導(dǎo)母體中添加的非超導(dǎo)相(added nonsuperconducting phases in the superconducting matrix) ，高能離子輻照而產(chǎn)生柱狀缺陷(columnar defects created by irradiation with highenergy ions) [34],[35]。在這些缺陷存在的地方，超導(dǎo)電性會(huì)受到抑制，因此，當(dāng)渦旋的正常態(tài)芯處于缺陷的位置時(shí)，就像一個(gè)粒子進(jìn)入到一個(gè)勢阱中一樣，總能量降低，并且要想使渦旋從這個(gè)缺陷所造成的勢阱中出來，便需要更靠近樣品邊緣的渦旋提供更大的推力，使渦旋可以克服勢壘，才能使得渦旋的數(shù)目進(jìn)一步增多，進(jìn)一步降低系統(tǒng)的總能量，這樣，當(dāng)外磁場逐漸增大的時(shí)候，渦旋間距從內(nèi)到外越來越小，渦旋密度越來越大，這樣便形成了宏觀上的渦旋密度梯度，這種分布主要由電磁驅(qū)動(dòng)力，材料釘扎力和磁通跳躍之間的平衡決定，當(dāng)外磁場在上下臨界磁場Hc1和Hc2之間變化時(shí)，渦旋通過超導(dǎo)體邊界進(jìn)入或離開，每當(dāng)驅(qū)動(dòng)渦旋克服釘扎力時(shí)，渦旋系統(tǒng)自身排列另一個(gè)亞穩(wěn)狀態(tài)從而與外磁場達(dá)到平衡。因此，外磁場或溫度的改變驅(qū)動(dòng)未釘扎渦旋訊速移動(dòng)到另一個(gè)平衡態(tài)或離開超導(dǎo)體使得系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)新的準(zhǔn)靜態(tài)能量平衡態(tài)。 由于單個(gè)磁通量子渦旋本身包含兩個(gè)方面的內(nèi)容，一個(gè)是磁場，一個(gè)渦旋電流，因此在處理的時(shí)候，也可以分別從這兩個(gè)角度出發(fā)，如果從磁場的角度出發(fā)，則可以將每個(gè)磁通渦旋的磁場平均化，即可以得到宏觀的磁場分布，再根據(jù)安培定理(B=μ0j)便可以得到宏觀的抗磁等效電流，這個(gè)等效抗磁電流與表面邁斯納抗磁電流一樣與外磁場相互排斥；如果按照渦旋電流的角度，則如下圖所示，從直覺上看，單個(gè)磁通渦旋電流與外磁場的相互作用是吸引力，那為什么會(huì)等效出一個(gè)宏觀的抗磁電流呢？事實(shí)上，當(dāng)超導(dǎo)體內(nèi)的渦旋在沒有釘扎力作用的情況下會(huì)形成均勻渦旋分布，此時(shí)處在內(nèi)部的渦旋電流從整體上抵消，只有邊緣處等效出一個(gè)順磁表面電流，這便是理想二類超導(dǎo)體的情形，而對(duì)于非均勻分布，從中心開始，靠內(nèi)一層的渦旋電流在這一層的外邊緣形成一個(gè)等效的宏觀順磁電流，靠外一層渦旋電流在這一層的內(nèi)邊緣形成一個(gè)等效的抗磁宏觀電流，由于靠外一層渦旋電流密度比靠內(nèi)一層的渦旋電流密度大，因此，這兩者的綜合效果是產(chǎn)生一個(gè)抗磁電流，而且如果我們將每個(gè)磁通渦旋分別與外場相互作用后對(duì)所有的磁通渦旋進(jìn)行求和，其結(jié)果與通過等效電流計(jì)算的結(jié)果相同。 從上面的分析我們可以看到，對(duì)于實(shí)際的二類超導(dǎo)體，由于缺陷的存在，在外磁場中，磁通量子渦旋在超導(dǎo)體內(nèi)部不是均勻分布，從而產(chǎn)生等效的體抗磁電流密度，這個(gè)電流與表面麥克斯納抗磁電流一起決定了超導(dǎo)體內(nèi)部和外部的磁場分布，也使得非理想的二類超導(dǎo)體的懸浮力遠(yuǎn)大于理想二類超導(dǎo)體，從根本上講，隨著外場的增加，能量上負(fù)界面能要求產(chǎn)生盡可能多的渦旋，從而產(chǎn)生了渦旋成核并向超導(dǎo)體內(nèi)部擴(kuò)散的動(dòng)力，而釘扎力卻阻止渦旋的運(yùn)動(dòng)，正是缺陷對(duì)渦旋產(chǎn)生的釘扎力與外磁場的相互作用產(chǎn)生了懸浮力。 由于缺陷對(duì)渦旋的釘扎作用，只有當(dāng)渦旋密度達(dá)到一定值時(shí)，其渦旋間排斥力才足以使渦旋克服釘扎勢壘，使渦旋運(yùn)運(yùn)，而這個(gè)臨界值所對(duì)應(yīng)的等效電流密度便是臨界電流密度，這個(gè)值一般可以通過測量二類超導(dǎo)體的輸運(yùn)性質(zhì)得到。由此也使得當(dāng)減小外磁場時(shí)，只有使外磁場減小的大小足以使得其渦旋密度梯度反向時(shí)，才能改變等效電流密度，所以在這個(gè)外磁場的范圍內(nèi)，外磁場與臨界電流密度不變，使得非理想二類超導(dǎo)體的穩(wěn)定懸浮位置和空間取向可以在某一個(gè)范圍內(nèi)連續(xù)變化。 圖6 非理想二類超導(dǎo)體中渦旋分布在外磁場增大然后減小的過程中的變化5. 等效電流 我們根據(jù)E. H. Brandt[41],[42],[43]所采用的方法計(jì)算出柱狀超導(dǎo)體在永磁體產(chǎn)生的磁場中的臨界電流分布，而其中關(guān)鍵的問題是得到超導(dǎo)體內(nèi)部電流密度隨外場變化的變化情況，根據(jù)麥克斯韋方程 （5）其中位移電流只在高頻磁場時(shí)才會(huì)有貢獻(xiàn)，所以此處忽略位移電流的貢獻(xiàn)，并由 （6） 可以得到 （7） （8）電流密度演化方程 （9）其中是超導(dǎo)體內(nèi)部的等效電流產(chǎn)生的矢勢，是外磁場的矢勢，根據(jù)微觀超導(dǎo)渦旋釘扎理論，渦旋由釘扎勢中被電流激發(fā)所需要的能量(activation energy)與外加電流之間的關(guān)系為 （10）再由阿雷尼厄斯(Arrhenius)定律 （11）可以得到經(jīng)驗(yàn)規(guī)律 （12）其中為磁通跳躍指數(shù)，在外磁場強(qiáng)度大于下臨界磁場時(shí)對(duì)于描寫二類超導(dǎo)的臨界態(tài)行為是一個(gè)很好的近似，由此我們也可以得到參量，以及渦旋有效運(yùn)動(dòng)速度 （13） 由于超導(dǎo)懸浮系統(tǒng)的軸對(duì)稱性，電流密度，電場強(qiáng)度，矢勢（由定義）只有沿著方位角的分量，因此