【正文】 et, which is consistent with the experimental results. Our results provides a new perspective and foundation for understanding the typeII Superconductor levitation hysteresis phonomenon and better application of superconductor.Key words: typeII Superconductor, levitation, vortex, hysteresis 目錄摘要 2目錄 3 4II. 理論推導(dǎo) 51. 永磁體產(chǎn)生的磁場 52. 邁斯納表面電流 63. 理想二類超導(dǎo)渦旋的分布 74. 非理想二類超導(dǎo)渦旋的分布 85. 等效電流 96. 穿透場的前鋒 117. 場冷懸掛與側(cè)向穩(wěn)定性 13III. 結(jié)果與討論 14 19V. 致謝 22 只要存在一個(gè)平衡物體重力的作用力，便可以實(shí)現(xiàn)物體的漂浮或自由懸浮，漂浮可以由不同的方法獲得(通過空氣束，聲壓，電磁力)[1]，然而自由懸浮現(xiàn)象卻更加奇特，對于這些懸浮技術(shù)，穩(wěn)定性都是關(guān)鍵問題，而二類超導(dǎo)體永磁體系統(tǒng)卻可同時(shí)實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)功能[2]，尤其是銅氧高溫超導(dǎo)體具有遠(yuǎn)高于常規(guī)超導(dǎo)體的臨界轉(zhuǎn)變溫度，臨界磁場，這些現(xiàn)象不論在學(xué)術(shù)上而且在技術(shù)應(yīng)用上都是十分重要的，從實(shí)用的角度來看，超導(dǎo)體在磁體上方的漂浮對于高溫超導(dǎo)材料的商業(yè)化是十分核心的問題[3][4]，如廣泛用于磁軸承[5]，能量儲存系統(tǒng)[6][7]，電力發(fā)動機(jī)[8]，磁懸浮列車[9]等等場合，而這些應(yīng)用都有賴于人們對二類超導(dǎo)體在變化外磁場的響應(yīng)有深入準(zhǔn)確的理解和定量具體的描述，因此研究二類超導(dǎo)體在變化外磁場中的性質(zhì)已經(jīng)成為世界各國的超導(dǎo)科技工作者一個(gè)十分重要的研究領(lǐng)域，而超導(dǎo)磁滯現(xiàn)象更是其中的核心關(guān)鍵問題。 從1957年二類超導(dǎo)體在理論上確定以來，經(jīng)過五十年的發(fā)展，無論上實(shí)驗(yàn)探索，還是理論研究，都取得了豐碩的研究成果，在實(shí)驗(yàn)上, Moon[10]，Horoki[11]，Masato[12]和Boegler[13]等人詳細(xì)研究了高溫超導(dǎo)磁懸浮力的滯回特征，測量了懸浮超導(dǎo)體的豎直方向的懸浮力，并且展示出懸浮系統(tǒng)的幾個(gè)主要的特性，這些測量結(jié)果被幾個(gè)小組進(jìn)一步研究，最后確定了懸浮力和垂直距離關(guān)系，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)靜態(tài)下運(yùn)動速度對懸浮力的影響較小[14]，懸浮力隨臨界電流密度增大及隨溫度降低而增大[15]；在變化磁場中呈現(xiàn)磁滯現(xiàn)象[16]，以及受樣品形狀和大小[17,][18]，材料[19],[20], 晶粒取向[21],[22] 的影響。本文第二部分給出理論模型的主要思想以及詳細(xì)的理論推導(dǎo)，第三部分給出數(shù)值模擬結(jié)果，第五部分對結(jié)果進(jìn)行討論。 我們將研究一個(gè)由半徑為RPM厚度為tPM，沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為M的圓柱狀永磁體(PM)，和一個(gè)置于永磁體上方可變距離z，相同對稱軸，半徑為a，長度為2b的圓柱狀二類超導(dǎo)體組成的懸浮系統(tǒng)，以永磁體上表面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系(ρ, θ, z)，矢徑處的磁矢勢與電流密度同為φ方向，可通過積分半徑為RPM 長度為tPM的通電螺線管產(chǎn)生的矢勢得到 （1）其中是永磁體的剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度，則磁場的徑向分量為 （2）其中和分別為k的第一類和第二類完全橢圓積分 ， （3）其中模數(shù) , ，為中與在水平面上的夾角。3. 理想二類超導(dǎo)渦旋的分布 對于二類超導(dǎo)體，當(dāng)外磁場大于下臨界場時(shí)，邁斯納表面電流不再變化，由于界面能為負(fù)，超導(dǎo)正常態(tài)界面長度的增加在能量上是有利的，并且，由于量子力學(xué)的磁通量子化，此后，超導(dǎo)體內(nèi)不斷增大的磁通量便以單個(gè)磁通量子的形式，由邁斯納表面電流內(nèi)部成核，并克服表面勢壘，進(jìn)入超導(dǎo)體內(nèi)部，并在瞬間形成六角形的規(guī)則排布，不會造成平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的非均勻分布，此時(shí)，根據(jù)麥克斯韋方程，均勻分布的渦旋磁通量子只有在渦旋分布的邊緣產(chǎn)生順磁電流，從而此時(shí)磁通量子渦旋與外磁場的相互作用是吸引力，這與從單個(gè)磁通渦旋電流與外場相互作用產(chǎn)生的吸引力是一致的，而表面邁斯納抗磁電流與外場的相互作用是排斥力，隨著超導(dǎo)體內(nèi)部磁通渦旋的數(shù)上目逐漸增多，需要表面抗磁電流抵消的外磁場逐漸減小，邁斯納抗磁電流隨之減小，排斥力減小，而吸此力增大，當(dāng)外磁場處于某個(gè)臨界值時(shí)，恰好是兩者的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，隨后，整體上，超導(dǎo)體與產(chǎn)生外磁場的永磁體之間便會相互吸引，直至單個(gè)渦旋的正常態(tài)芯相互接觸，直至外磁場完全穿透整個(gè)超導(dǎo)體，表面抗磁電流隨之消失，吸引力也隨之消失。因此，外磁場或溫度的改變驅(qū)動未釘扎渦旋訊速移動到另一個(gè)平衡態(tài)或離開超導(dǎo)體使得系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)新的準(zhǔn)靜態(tài)能量平衡態(tài)。由此也使得當(dāng)減小外磁場時(shí)，只有使外磁場減小的大小足以使得其渦旋密度梯度反向時(shí)，才能改變等效電流密度，所以在這個(gè)外磁場的范圍內(nèi)，外磁場與臨界電流密度不變，使得非理想二類超導(dǎo)體的穩(wěn)定懸浮位置和空間取向可以在某一個(gè)范圍內(nèi)連續(xù)變化。根據(jù)Bean臨界態(tài)模型，誘導(dǎo)電流由材料邊界產(chǎn)生緊接著外磁場，并進(jìn)一步延伸到超導(dǎo)體內(nèi)部 （23）是磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，是真空磁導(dǎo)率，這引起總磁通密度從材料表面向內(nèi)部逐漸減小直至達(dá)到磁通鋒邊界時(shí)為零，這個(gè)邊界內(nèi)部的區(qū)域沒有磁場，被誘導(dǎo)的屏蔽電流完全屏蔽，這個(gè)磁通前鋒邊界可由總磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的面來定義，這對應(yīng)于一個(gè)定義這個(gè)邊界的矢量方程，由于，則同樣可以由磁矢勢來定義邊界，使用矢勢的概念可以極大地簡化計(jì)算，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)分量需要確定對于方位角對稱問題，對于具有這種對稱性的問題，材料內(nèi)部誘電流可以通過形成回路來模擬，每一個(gè)回路者攜帶常數(shù)電流Jc，單個(gè)電流回路的矢勢已知，并且可以要么使用完全橢圓積分(plete elliptical integrals)，要么通過正交函數(shù)(orthogonal functions)來表示，因此，由于所有的誘導(dǎo)電流而產(chǎn)生的矢勢是這個(gè)單電流回路的已知的矢勢的體積積分，在這個(gè)積分中的未知量是磁通前鋒邊界Ψ，這個(gè)邊界構(gòu)成積分限的一部分，和電流密度Jc，另外，Ψ既同時(shí)是空間和外另磁場的函數(shù)，為了簡化計(jì)算，外加磁場用Jc和一個(gè)特征長度歸一化，采用這種歸一化方案之后，總的矢勢 Atot就變?yōu)橐粋€(gè)無量綱隱函數(shù)Ψ=Ψ(R, β)，R為廣義空間變量，β是歸一化外加磁場，總的矢勢由下式給出 Atot =Aβ— AJc （24） Aβ和 AJc 分別是外場β的矢勢和誘導(dǎo)電流Jc的矢勢，方程中的負(fù)號源自屏蔽效應(yīng)，對于給定的外場β，磁通前鋒的位置可由尋找矢勢為零的空間點(diǎn)來確定，通常情況下這是一個(gè)很困難的工作，但是可以將此方程化為一個(gè)簡單的積分方程來簡化，一般情況下，β是時(shí)間的函數(shù)，這種方法只能處理臨界態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)，外場變化的時(shí)間尺度遠(yuǎn)大于磁通線運(yùn)動所需要的時(shí)間尺度，因此，這個(gè)模型總是假定隨著外場的增大磁通輪廓經(jīng)歷一系列由外場的歷史和當(dāng)前值惟一確定的準(zhǔn)靜態(tài)，外加磁場的變化導(dǎo)致磁通線輪廓位置相應(yīng)的變化，但是在整個(gè)變化過程中這個(gè)輪廓中總的矢勢一直為零，因此，確定磁通穿透輪廓的一個(gè)要求是 Atot (Ψ(R, β+β), R)= Atot (Ψ(R, β), R)=0 （25）這意味著 （26）上面的方程往往是Ψ的一階非線性積分方程，然而，如果Ψ給定，但是它的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)未知，上述方程可被視為一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性一階積分方程，正如臨界態(tài)模型所建議的那樣，當(dāng)外場β最初加到超導(dǎo)體上時(shí)，磁通量子從表面進(jìn)入超導(dǎo)體內(nèi)，因此，初始Ψ(R, β) =0的輪廓是材料的表面輪廓，將這個(gè)已知函數(shù)代入到上述方程，它就變成一個(gè)未知導(dǎo)數(shù)的一階線性積分方程，有幾種方法可以用來求解這個(gè)方程，這些算法的大多數(shù)使用迭代法，并且這個(gè)迭代的收斂要么由嚴(yán)格的數(shù)學(xué)參數(shù)，要么在實(shí)際應(yīng)用中被認(rèn)為是如此，因?yàn)閲?yán)格的數(shù)學(xué)證明極其困難，Gold提出一個(gè)簡單的收斂迭代方案以從上述方程求解Ψ的導(dǎo)數(shù)，隨著外磁場由β增加到β+β，新的磁通前鋒輪廓可由下式近似 （27） 圖7 二類超導(dǎo)體磁場隨外磁場增加過程中的分布圖只要增量足夠小，這個(gè)近似便是成立的，用這個(gè)近似，可以確定時(shí)的磁通輪廓，但它的導(dǎo)數(shù)卻還沒有確定，這與起初當(dāng)=0時(shí)的情況相同，上面的方案重復(fù)進(jìn)行，從根 本上講，這個(gè)方法涉及到外場β的漸進(jìn)增量數(shù)值方案(progressively incremental numerical scheme)，和求解上個(gè)方程的迭代方法，一旦磁輪廓對外場的依賴關(guān)系在零場冷(ZFC)過程中被確定，然后，超導(dǎo)樣品對一個(gè)外場完整周期變化過程中的響應(yīng)便可很容易計(jì)算出來。III. 結(jié)果與討論圖6所示為零場條件下制冷實(shí)驗(yàn)超導(dǎo)情況下測量超導(dǎo)磁懸力隨距離變化的曲線，從圖中可以清楚的看出z方向上超導(dǎo)體與磁鐵之間的磁排斥力隨距離的增大呈指數(shù)形式下降。另一個(gè)問題是測試精度的問題，很顯然圖7中磁懸浮力的變化曲線雖然大體上反映出磁滯的特征，但是上行數(shù)據(jù)明顯比標(biāo)準(zhǔn)曲線過小，而這很可能是實(shí)驗(yàn)操作熟練程度不夠造成的。當(dāng)然，由于實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)不足、測試樣品的部分失超以及測試系統(tǒng)靈敏度不高而原因，本次實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果并不是十分理想，與標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖圖9)相比還是有一定的差距。圖11 懸浮力實(shí)驗(yàn)值[41]隨懸浮距離的變化圖12 懸浮力實(shí)驗(yàn)值[45]隨懸浮距離的變化根據(jù)理論模型計(jì)算得到的電流密度分布，我們可以得到Fz的計(jì)算式： （30）式中為超導(dǎo)電子密度，為單位電荷，為電子的質(zhì)量，為單位面積內(nèi)的渦旋數(shù)。從圖中Fz—Z曲線可以看出，理論計(jì)算的懸浮力值與實(shí)驗(yàn)測量的懸浮力曲線整體變化趨勢基本相同，除此之外，我們還研究了磁懸浮力曲線隨渦旋密度梯度等效電流