均值不等式的總結(jié)及應(yīng)用-文庫吧
2025-06-02 15:53 本頁面
【正文】 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)時(shí)。評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號 當(dāng)x＝2時(shí)，的最大值為8。評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：∵∴∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立。技巧三： 分離例3. 求的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因
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