高中平面幾何常用定理總結(jié)-文庫吧
2025-06-01 21:17 本頁面
【正文】 線共點，并且AE＝BF＝CD，這個命題稱為拿破侖定理． 以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心． 19． 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半。 （2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點。 （3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕．20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．21． 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr．22． 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．23． 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則； （2）設(shè)G為△ABC的重心，則；（3）設(shè)G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則；（4）設(shè)G為△ABC的重心，則①；②；③（P為△ABC內(nèi)任意一點）；④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最??； ⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．24． 垂心：三角形的三條高線的交點；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則．25． 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交△ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點
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