高中平面幾何常用定理總結(存儲版)
【正文】 uler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d2=R2－2Rr．22． 銳角三角形的外接圓半徑與內切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．23． 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質：（1）設G為△ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則； （2）設G為△ABC的重心，則；（3）設G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則；（4）設G為△ABC的重心，則①；②；③（P為△ABC內任意一點）；④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最??； ⑤三角形內到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．24． 垂心：三角形的三條高線的交點；垂心性質：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則．25． 內心：三角形的三條角分線的交點—內接圓圓心，即內心到三角形各邊距離相等； 內心性質：（1）設I為△ABC的內心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設I為△ABC的內心，則；（3）三角形一內角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內心的距離相等；反之，若平分線交△ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內心；（4）設I為△ABC的內心， 平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點K，則；（5）設I為△ABC的內心，I在上的射影分別為，內切圓半徑為，令，則①；②；③．26． 外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；外心性質：（1）外心到三角形各頂點距離相等；（2）設O為△ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和．27． 旁心：一內角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設△ABC的三邊令，分別與外側相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為．旁心性質：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設的連線交△ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結論）；（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑等于△ABC的直徑為2R．28． 三角形面積公式：，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內切圓半徑，．29． 三角形中內切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關系： 30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有 ．（逆定理也
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