【正文】 k ≠ 0) ， 叫做一次函數(shù)． 當 b ＝ 0 時 ， 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 就成為 y ＝ kx ( k 為常數(shù) ， k≠ 0 ) ， 叫做 正比例函數(shù) ， 常數(shù) k 叫做 比例系數(shù) ． 溫馨提示 : 正比例函數(shù)是一次函數(shù) ， 但一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b ( k ， b 都是常數(shù) ，k ≠ 0 ) 不一定是正比例函數(shù) ， 只有當 b ＝ 0 時 ， 它 才是正比例函數(shù) ． 考點二 一次函數(shù)的圖象和性質 1 ． 一次函數(shù)的圖象 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b ( k ， b 都是常數(shù) ， 且 k ≠ 0 ) 的圖象是一條過(0 ， b ) ，????－bk， 0 的直線．正比例函數(shù) y ＝ kx ( k 為常數(shù) ， k ≠ 0 ) 的圖象是一條過 ( 0 ， 0 ) 的直線． 2 ． 一次函數(shù)的性質 函 數(shù) 常數(shù) 取值 大致圖象 經過的象限 函數(shù)性質 k ＞ 0 一、三 y 隨 x 的增大 而增大 y ＝ kx ( k ≠ 0) k ＜ 0 二、四 y 隨 x 的增大 而減小 k ＞ 0 b ＞ 0 一、二、三 k ＞ 0 b ＜ 0 一、三、四 y 隨 x 的增大 而增大 k ＜ 0 b ＞ 0 一、二、四 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) k ＜ 0 b ＜ 0 二、三、四 y 隨 x 的增大 而減小 溫馨提示 : 掌握一次函數(shù)性質的關鍵是弄清 k ， b 的正負 ， 其中 k 決定了一次函數(shù)的增減情況 ( 即增減性 ) ， b 決定 了函數(shù)圖象與 y 軸交點的位置是在 x 軸上方還是下方 ． 3 ． 一次函數(shù)圖象的平移方法 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b ( k ， b 都是常數(shù) ， k ≠ 0 ) 的圖象是一條直線 ，它可以看做由直線 y ＝ kx 平移 | b |個單位 而得到 ( 當 b 0 時 ， 向上平移；當 b 0 時 ， 向下平移 ) ． 4 ． 兩條直線的位置與系數(shù)的關系 直線 l1： y1＝ k1x ＋ b1與直線 l2： y2＝ k2x ＋ b2的位置關系可由系數(shù)決定． ( 1 ) k1＝ k2， b1≠ b2? l1與 l2 平行 ； ( 2 ) k1＝ k2， b1＝ b2? l1與 l2 重合 ； ( 3 ) k1 k2＝－ 1 ? l1與 l2 垂直 ． 溫馨提示 : 直線 y1＝ k1x ＋ b1與 y2＝ k2x ＋ b2， 當 k1＝ k2， b1≠ b2時 ， 兩條直線平行 ， 這樣的兩條直線可以通過平移得到 ． 5 ． 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 的圖象與 x 軸的交點坐標為 ????－bk， 0 ， 與 y 軸的交點坐標為 (0 ， b ) ， 這條直線與兩坐標軸圍成的三角形面積 S ＝12| |b ????－bk＝b22 | |k. 考點三 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式的一般步驟 ( 1 ) 設出含有待定系數(shù)的函數(shù)表達式 y ＝ kx ＋ b ； ( 2 ) 把兩個已知條件 ( 自變量與函數(shù)的對應值 ) 代入表達式 ， 得到關于系數(shù) k ， b 的 二元一次方程組 ； ( 3 ) 解 二元一次方程組 ， 求出待定系數(shù) k ， b 的值； ( 4 ) 將求得的待定系數(shù)的值代入 y ＝ kx ＋ b ． 考點四 用函數(shù)觀點看方程 ( 組 ) 與不等式 1 ． 一次函數(shù)與一元一次方程： 求自變量 x 為何值時 ， 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 的值為 0 ? 解方程 kx ＋ b ＝ 0 ． 2 ． 一次函數(shù)與一元一次不等式： ( 1 ) 解不等式 kx ＋ b ＞ 0 ? 求自變量 x 在什么范圍內 ， 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 的值 大于 0 ； ( 2 ) 解不等式 kx ＋ b ＜ 0 ? 求自變量 x 在什么范圍內 ， 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b的值 小于 0 . 溫馨提示 : 函數(shù)值 y ＞ 0 時 ， 對應函數(shù)的圖象在 x 軸上方； y ＜ 0 時 ， 對應函數(shù)的圖象在 x 軸下方 ． 3 ． 一般地 ， 每個二元一次方程 組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線． 從 “ 數(shù) ” 的角度看 ， 解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的函數(shù)值 相等 ， 以及這個函數(shù)值是何值；從 “ 形 ” 的角度看 ， 解方程組相當于確定兩條直線交點的 坐標 ． 考點五 一次函數(shù)的應用 1 ． 用一次函數(shù)解決實際問題的一般步驟： ( 1) 設定實際問題中的變量； ( 2) 建立一次函數(shù)關系式； ( 3) 確定自變量的取值范圍； ( 4) 利用函數(shù)性質解決問題； ( 5) 答． 2 ． 一次函數(shù)的應用的常用題型 ( 1) 根據實際問題中給出的數(shù)據列相應的函數(shù)表達式 ， 解決實際問題； ( 2) 利用一次函數(shù)對實際問題中的方案進行比較； ( 3) 結合實際問題的函數(shù)圖象解決實際問題． 溫馨提示 : 運用一次函數(shù)的有關知識解決實際問題的關鍵是結合方程、不等式的有關知識求解 ， 在確定一次函數(shù)的表達式時 ， 要注意自變 量的取值范圍應受實際條件的限制 ． 典型考題展示 考點一 一次函數(shù)的圖象與性質 若一次函數(shù) y ＝ ( k － 2) x ＋ 1 的函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 ， 則 ( B ) A ． k ＜ 2 B ． k ＞ 2 C ． k ＞ 0 D ． k ＜ 0 【思路點撥】 根據 “ 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b ， 當 k 0 時 ， 函數(shù)值y 隨 x 的增大而增大 ” ， 可得 k 的取值范圍 ． 【自主解答】 方法總結： 一次函數(shù) y ＝ kx ＋ b 的圖象 ， 當 k 0 時 ， 從左向右看圖象呈上升趨勢 ， y 隨 x 的增大而增大；當 k 0 時 ， 從左向右看圖象呈下降趨勢 ， y 隨 x 的增大而減小 ． 已知一次函數(shù) y ＝ ( k － 4) x － m 的圖象與 y 軸的負半軸相交 ， 且函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而減小 ， 則下列結論正確的是 ( B ) A ． k ＜ 4 ， m ＜ 0 B ． k ＜ 4 ， m ＞ 0 C ． k ＞ 4 ， m ＞ 0 D ． k ＜ 0 ， m ＜ 0 考點二 根據一次函數(shù)的圖象求不等式的解 一次函數(shù) y ＝－ 3 x ＋ b 和 y ＝ kx ＋ 1 的圖象 如圖所示 ， 其交點為 P (3 ， 4 ) ， 則不等式 kx ＋ 1 ≥ － 3 x ＋ b 的解在數(shù)軸上表示正確的是 ( B ) A B C D 【思路點撥】 觀察圖象，函數(shù) y ＝－ 3 x ＋ b 的圖象位于函數(shù) y ＝ kx ＋ 1 圖象下方時對應的 x 的取值即為不等式 kx ＋ 1 ≥ － 3 x ＋ b的解． 如圖 ， 在同一平面直角坐標系中 ， 函數(shù) y1＝ 2 x 和 y2＝－ x ＋ b 的圖象交于點 A ( m ， n ) ， 若不等式 y1＜ y2恰好有 3 個非負整數(shù)解 ， 則 ( ) A ． m ＝ 2 B ． m ＝ 3 C ． 2 ＜ m ＜ 3 D ． 2 ＜ m ≤ 3 【解析】 不等式 y1＜ y2表示 y1＝ 2 x 的圖象在 y2＝－ x ＋ b 圖象的下方 ， 可知它們交點左邊的圖象符合 ． ∵ 交點坐 標為 ( m ， n ) ，∴ 不等式 y1＜ y2的解為 x ＜ m . ∵ 不等式 y1＜ y2恰好有 3 個非負整數(shù)解 ， ∴ 這 3 個非負整數(shù)解分別 為 0 ， 1 ， 2 ， ∴ 2 ＜ m ≤