【正文】 ,一個是圓心角度數 ,一個是圓半徑 .常用連接半徑的方 法 ,構造等腰三角形 ,或加上弦心距 ,構造直角三角形求解 . 2.(2022甘肅蘭州 ,12,4分 )如圖 ,正方形 ABCD內接于半徑為 2的☉ O,則圖中陰影部分的面積為 ? ( ) ? +1 +2 答案 D 連接 AC,OD, ? 則 AC=4,所以正方形 ABCD的邊長為 2? ,所以正方形 ABCD的面積為 8,由題意可知 ,☉ O的面積 為 4π,根據圖形的對稱性 ,知 S陰影 =? S△ OAD=π2,故選 D. 2OADS扇 形思路分析 把陰影部分的面積轉化成一個扇形的面積減去一個三角形的面積進行解答 . 方法規(guī)律 求陰影部分的面積 ,特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時 ,常通過平移、旋轉、割補等 方法 ,把不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形面積的和或差來求解 . 3.(2022吉林 ,6,2分 )如圖 ,陰影部分是兩個半徑為 1的扇形 .若 α=120176。,β=60176。,則大扇形與小扇形 的面積之差為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 3? 6? 53? 56?答案 B 大扇形的面積是 ? =? π,小扇形的面積是 ? =? π,面積之差為 ? π? π=? ,故選 B. 2(360 60) 1360 ???562(360 120) 1360 ???2356 23 6?4.(2022河南 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=BC=2,將△ ABC繞 AC的中點 D逆時針旋 轉 90176。得到△ A39。B39。C39。,其中點 B的運動路徑為 ? ,則圖中陰影部分的面積為 . ? 39。BB︵答案 ? ? 54? 32解析 如圖 ,連接 B39。D,BD,作 DE⊥ A39。B39。于點 E. ? 在 Rt△ BCD中 ,BC=2,CD=? AC=1, ∴ BD=? =? . 由旋轉得 A39。B39。⊥ AB,∠ B39。DB=90176。,DE=? AA39。=? AB=? ,B39。C=? ,∴ S陰影 =S扇形 B39。DBS△ B39。CDS△ BCD=? ? ? ? ? 21=? ? . 1222CB CD? 512 14 222 90 5360? ?12 22212 54? 32思路分析 首先確定 ? 所在圓的圓心為點 D,根據題意求出半徑 DB和圓心角 ∠ B39。DB的度數 , 然后通過 S扇形 B39。DBS△ B39。CDS△ BCD可求得陰影部分的面積 . 39。BB︵5.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,分別以正五邊形 ABCDE的頂點 A,D為圓心 ,以 AB長為半徑畫 ? ,?. 若 AB=1,則陰影部分圖形的周長和為 (結果保留 π). ? BE︵ CE︵答案 ? π+1 65解析 正五邊形的每個內角都為 108176。,故可得陰影部分圖形的周長和為 2? +1=? π+1. 108 1180???656.(2022寧夏 ,15,3分 )已知正△ ABC的邊長為 6,那么能夠完全覆蓋這個正△ ABC的最小圓面的 半徑是 . 答案 2? 3解析 根據題意知 ,這個最小圓是正△ ABC的外接圓 ,設其半徑為 r,則 r=? 6sin 60176。=2? . 2337.(2022河南 ,14,3分 )如圖 ,在扇形 AOB中 ,∠ AOB=90176。,以點 A為圓心 ,OA的長為半徑作 ? 交 ? 于點 OA=2,則陰影部分的面積為 . ? OC︵ AB︵答案 ? ? 33?解析 連接 OC,AC,則 OC=OA=AC,所以△ OAC為等邊三角形 ,所以 ∠ COA=∠ CAO=60176。,因為 ∠ AOB=90176。,所以 ∠ BOC=30176。, 所以 S陰影 =S扇形 BOC+S△ OACS扇形 OAC=? +? ? =? π+? ? =? ? . 30 4360? ? 2324? 60 4360? ? 13 3 23? 3 3?評析 本題考查扇形、等邊三角形面積的計算 ,分割法是求陰影部分面積的常見方法 . 8.(2022安徽 ,13,5分 )如圖 ,已知☉ O的半徑為 2,A為☉ O外一點 .過點 A作☉ O的一條切線 AB,切點 是 ☉ O于點 ∠ BAC=30176。,則劣弧 ? 的長為 . ? BC︵答案 ? 43?解析 如圖 ,連接 OB, ? ∵ AB切☉ O于 B, ∴∠ ABO=90176。,∵∠ BAC=30176。, ∴∠ BOC=30176。+90176。=120176。, 又☉ O的半徑為 2, ∴ 劣弧 ? 的長為 ? =? . BC︵ 120 2180??? 43?評析 本題考查了圓的切線的性質 ,三角形的外角及弧長的計算 ,屬中等難度題 . 9.(2022山東煙臺 ,17,3分 )如圖所示 ,正六邊形 ABCDEF內接于☉ O,若☉ O的半徑為 4,則陰影部 分的面積等于 . ? 答案 ? π 163解析 連接 OD,由題意易知陰影部分的面積等于扇形 OBCD的面積 ,所以陰影部分的面積 S= ? =? π. 2120 4360? ? 16310.(2022河北 ,23,9分 )如圖 ,AB=16,O是 AB中點 ,點 C在線段 OB上 (不與點 O,B重合 ),將 OC繞點 O 逆時針旋轉 270176。后得到扇形 COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 ? 于點 P,Q,且點 P,Q在 AB異側 ,連接 OP. (1)求證 :AP=BQ。 (2)當 BQ=4? 時 ,求優(yōu)弧 ? 的長 (結果保留 π)。 (3)若△ APO的外心在扇形 COD的內部 ,求 OC的取值范圍 . ? CD︵3 QD︵解析 (1)證明 :連接 OQ.? (1分 ) ∵ AP,BQ分別與優(yōu)弧 ? 相切 , ∴ OP⊥ AP,OQ⊥ BQ,即 ∠ APO=∠ Q=90176。. 又 OA=OB,OP=OQ, ∴ Rt△ APO≌ Rt△ BQO.? (3分 ) ∴ AP=BQ.? (4分 ) (2)∵ BQ=4? ,OB=? AB=8,∠ Q=90176。, ∴ sin∠ BOQ=? .∴∠ BOQ=60176。.? (5分 ) ∵ OQ=8cos 60176。=4,∴ 優(yōu)弧 ? 的長為 ? =? .? (7分 ) (3)設點 M為 Rt△ APO的外心 ,則 M為 OA的中心 ,∴ OM=4. 當點 M在扇形 COD的內部時 ,OMOC,∴ 4OC8.? (9分 ) CD︵31232QD︵ (270 60) 4180 ???143?解題技巧 遇到含有切線的解答題 ,首先要想到的是作輔助線 ,由此獲得更多能夠證明題目要 求的條件 .一般作輔助線的方法為“見切點 ,連圓心” ,從而構造直角三角形 (垂直 )進行證明或 計算 . 思路分析 (1)連接 ∠ APO=∠ Q=90176。,由 HL得出 Rt△ APO≌ Rt△ BQO,從而可得 AP=BQ。(2)由 BQ=4? ,OB=8,確定出 ∠ BOQ的度數及 OQ的長 ,進而根據弧長公 式求出優(yōu)弧 ? 的長 。(3)△ APO的外心是 OA的中點 ,OA=8,從而可由△ APO的外心在扇形 COD 的內部求出 OC的取值范圍 . 3QD︵11.(2022遼寧沈陽 ,21,10分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內接四邊形 ,∠ ABC=2∠ D,連接 OA、 OB、 OC、 AC,OB與 AC相交于點 E. (1)求 ∠ OCA的度數 。 (2)若 ∠ COB=3∠ AOB,OC=2? ,求圖中陰影部分面積 .(結果保留 π和根號 ) ? 3解析 (1)∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內接四邊形 , ∴∠ ABC+∠ D=180176。. ∵∠ ABC=2∠ D, ∴ 2∠ D+∠ D=180176。, ∴∠ D=60176。, ∴∠ AOC=2∠ D=120176。. ∵ OA=OC, ∴∠ OCA=∠ OAC=30176。. (2)∵∠ COB=3∠ AOB,∴∠ AOC=∠ AOB+3∠ AOB=120176。, ∴∠ AOB=30176。,∴∠ COB=∠ AOC∠ AOB=90176。. 在 Rt△ OCE中 ,OC=2? , ∴ OE=OCtan∠ OCE=2? tan 30176。=2? ? =2, 33 333∴ S△ OEC=? OEOC=? 22? =2? , ∵ S扇形 OBC=? =3π,∴ S陰影 =S扇形 OBCS△ OEC=3π2? . 12 123 3290 (2 3)360? ? 3考點 2 圓柱、圓錐的側面展開圖 1.(2022寧夏 ,12,3分 )用一個圓心角為 180176。,半徑為 4的扇形圍成一個圓錐的側面 ,則這個圓錐的 底面圓的半徑為 . 答案 2 解析