【正文】 176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。,∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC.∵∠ ADB是△ ADC的外角 , ∴∠ C=? ∠ ADB=35176。.故選 A. 124.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個底角為 50176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。50176。2=80176。,∴ 頂角為 80176。. 5.(2022福建龍巖 ,16,3分 )我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點 叫做這個四邊形的腰點 (如矩形的對角線交點是矩形的一個腰點 ),則正方形的腰點共有 個 . 答案 9 解析 如圖 ,(1)連接兩條對角線 ,對角線的交點是正方形的一個腰點 。(2)分別以四個頂點為圓 心 ,以正方形的邊長為半徑畫圓 ,除頂點外 ,共有 8個交點 ,這 8個點也是腰點 .綜上 ,正方形共有 9 個腰點 . ? 6.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。,則該等腰三角 形的底角的度數(shù)為 . 答案 63176?；?27176。 解析 在三角形 ABC中 ,設(shè) AB=AC,BD⊥ AC于 D. ①若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176。36176。=54176。, 此時 ,底角 =(180176。54176。)247。2=63176。 ? ②若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。+90176。=126176。, 此時 ,底角 =(180176。126176。)247。2=27176。. 綜上 ,該等腰三角形底角的度數(shù)是 63176?；?27176。. ? 7.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點 D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。. ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=36176。,∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 考點二 直角三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,8,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,△ ADE的頂點 D,E分別在 BC,AC上 ,且 ∠ DAE=90176。,AD= ∠ C+∠ BAC=145176。,則 ∠ EDC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵∠ B=180176。(∠ C+∠ BAC)=35176。,∴∠ C=35176。.∵∠ DAE=90176。, AD=AE,∴∠ AED=∠ ADE=45176。,∴∠ EDC=∠ AED∠ C=45176。35176。=10176。.故選 D. 2.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。B39。C39。拼在一起 ,其中點 A39。與 點 A重合 ,點 C39。落在邊 AB上 ,連接 B39。 ∠ ACB=∠ AC39。B39。=90176。,AC=BC=3,則 B39。C的長為 ? ( ) ? ? ? D.? 3 221答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。B39。C39。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? , ∴ AB39。=3? ,在△ AB39。C中 ,易知 ∠ CAB39。=90176。,∴ △ AB39。C是直角三角形 ,∴ B39。C=? =3? . 22 223 (3 2)?33.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點 E,交 CB于點 AC=3,AB=5,則 CE的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 43 53 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點 G, ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。,∠ B+∠ 6=90176。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? ,∴ CE=CF=? .選 A. 32 324.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點 M與點 C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點 ,∴ MC=? AB=AM= D. 125.(2022吉林長春 ,13,3分 )如圖 1,這個圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的 ,人 們稱它為“趙爽弦圖” .此圖案的示意圖如圖 2,其中四邊形 ABCD和四邊形 EFGH都是正方形 , △ ABF、△ BCG、△ CDH、△ DAE是四個全等的直角三角形 .若 EF=2,DE=8,則 AB的長為 . ? 答案 10 解析 依題意知 ,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,∴ BF=BGFG=6, ∴ 在 Rt△ ABF中 ,利用勾股定理得 ,AB=? =10. 22AF BF?6.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,BC=? +1,點 M,N分別是邊 BC,AB上 的動點 ,沿 MN所在的直線折疊 ∠ B,使點 B的對應(yīng)點 B39。? 落在邊 AC上 .若△ MB39。C為直角三角 形 ,則 BM的長為 . ? 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,AB=AC,∴∠ B=∠ C=45176。. (1)當(dāng) ∠ MB39。C=90176。時 ,∠ B39。MC=∠ C=45176。. 設(shè) BM=x,則 B39。M=B39。C=x, 在 Rt△ MB39。C中 ,由勾股定理得 MC=? x, ∴ ? x+x=? +1,解得 x=1, ∴ BM=1. (2)如圖 ,當(dāng) ∠ B39。MC=90176。時 ,點 B39。與點 A重合 , ? 此時 BM=B39。M=? BC=? . 綜上所述 ,BM的長為 1或 ? . 22212212?27.(2022貴州遵義 ,16,4分 )我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理 ,創(chuàng)制了一幅“弦圖” ,后人 稱其為“趙爽弦圖” (如圖 (1)),圖 (2)由弦圖變化得到 ,它是由八個全等的直角三角形拼接而成 , 記圖中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面積分別為 S S EFGH 的邊長為 2,則 S1+S2+S3= . ? 答案 12 解析 設(shè) AH=a,AE=b,EH=c,則 c=2,所以 S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(ab)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12. 8.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點 ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。 (2)若 ∠ BAD=60176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長 . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,M為 AC的中點 , ∴ BM=? AC. ∵ N為 CD的中點 ,∴ MN=? AD. ∵ AC=AD,∴ BM=MN. (2)∵∠ BAD=60176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。. 由 BM=AM,可得 ∠ BMC=2∠ BAC=60176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。. ∵ AC=AD=2, ∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 12 12 22BM MN?2考點一 等腰三角形 C組 教師專用題組 1.(2022福建龍巖 ,8,4分 )如圖 ,在邊長為 ? 的等邊三角形 ABC中 ,過點 C垂直于 BC的直線交 ∠ ABC的平分線于點 P,則點 P到邊 AB所在直線的距離為 ? ( ) ? A.? B.? C.? 333 323答案 D 由題意可得 ,∠ PBC=30176。,在 Rt△ PBC中 ,PC=BCtan 30176。=1,因為 BP是 ∠ ABC的平分 線 ,所以點 P到 AB的距離等于點 P到 BC的距離 ,即為 1,故選 D. 2.(2022江蘇蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D為 BC中點 ,∠ BAD=35176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點 ,∴∠ CAD=∠ BAD=35176。,AD⊥ DC,∴ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。 ∠ DAC=55176。,故選 C. 3.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在邊長為 4的等邊△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC的中點 ,EF⊥ AC于點 F, G為 EF的中點 ,連接 DG,則 DG的長為 . ? 答案 ? 192解析 連接 DE,在等邊△ ABC中 , ? ∵ D、 E分別是 AB、 BC的中點 , ∴ DE∥ AC,DE=EC=? AC=2. ∴∠ DEB=∠ C=60176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。. ∴∠ FEC=30176。,EF=? . ∴∠ DEG=180176。60176。30176。=90176。. ∵ G是 EF的中點 ,∴ EG=? . 1 3 32∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 22DE EG?22 32 2??? ????192思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長 . 疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長 ,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系 ,所以應(yīng)根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運用勾股 定理求出 DG的長 . 4.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=3,點 P為邊 BC的三等 分點 ,連接 AP,則 AP的長為 . 答案 ? 或 ? 1013解析 當(dāng) CP=1時 ,根據(jù)勾股定理得 AP=? =? 。當(dāng) CP=2時 ,根據(jù)勾股定理得 AP= ? =? =? ,故 AP的長為 ? 或 ? . 2231?10AC CP?32?135.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,∠ ACE=? ∠ BAC,CE交 AB于點 E,交 AD于點 F,若 BC=2,則 EF的長為 . ? 12答案 ? 1 3解析 在 DF上取點 G,使 DG=DC,連接 CG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=15176。, ∴ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。. ∵∠ ACE=? ∠ BAC,∴∠ ACE=∠ CAD,∴ AF=CF. ∵∠ ACE=? ∠ BAC=15176。,∠ DCG=45176。, ∠ ACB=? =75176。, ? ∴∠ FCG=75176。15176。45176。=15176。, ∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, 121212180 2 BAC???∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA),∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。15176。=60176。,∴ DF=? DC=? . 又 ∵ DG=DC=1,∴ EF=FG=DFDG=? 1. 12 3336.(2022江蘇蘇州 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC= ∠ BPC=? ∠ BAC,則 tan∠ BPC= . ? 12答案 ? 43解析 過 A作等腰△ ABC底邊 BC上的高 AD,垂足為 D,則 AD 平分 ∠ BAC,且 D為 BC的中點 ,所以 BD=4,根據(jù)勾股定理可求出 AD=3,又因為 ∠ BPC=