【正文】 如圖 ,已知 ∠ ABC=∠ DCB,添加以下條件 ,不能判定△ ABC≌ △ DCB的 是 ? ( ) ? A.∠ A=∠ D B.∠ ACB=∠ DBC =DB =DC 答案 C 根據題中已有條件 ,分別添加 ∠ A=∠ D,∠ ACB=∠ DBC,AB=DC,符合判定三角形全 等的 AAS,ASA,SAS定理 ,能推出△ ABC≌ △ DCB,故選項 A,B,D不符合題意 。添加 AC=BD,不符 合全等三角形的判定定理 ,不能推出△ ABC≌ △ DCB,選項 C符合題意 .故選 C. 2.(2022北京 ,16,3分 )下面是“經過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點 P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經過點 P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點 A,B。 (2)分別以點 A,B為圓心 ,AP,BP長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 Q。 (3)作直線 PQ. 所以直線 PQ就是所求作的垂線 . ? 請回答 :該作圖的依據是 . 答案 三邊分別相等的兩個三角形全等 。全等三角形的對應角相等 。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。兩點確定一條直線 解析 連接 PA、 QA、 PB、 PA =QA,PB=QB,又 AB=AB, ∴ △ PAB≌ △ QAB(三邊分別相等的兩個三角形全等 ), ∴∠ PAB=∠ QAB(全等三角形的對應角相等 ). 由兩點確定一條直線作直線 PQ. ∵ PA =QA, ∴ AB⊥ PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合 ). 3.(2022江西南昌 ,9,3分 )如圖 ,OP平分 ∠ MON,PE⊥ OM于 E,PF⊥ ON于 F,OA=OB,則圖中有 對全等三角形 . ? 答案 3 解析 根據題圖的特征以及角平分線的性質可以得到△ AOP≌ △ BOP,△ EOP≌ △ FOP, △ AEP≌ △ BFP,所以題圖中有 3對全等三角形 . 4.(2022陜西 ,18,5分 )如圖 ,AB∥ CD,E、 F分別為 AB、 CD上的點 ,且 EC∥ BF,連接 AD,分別與 EC、 BF相交于點 G、 AB=CD,求證 :AG=DH. ? 證明 ∵ AB∥ CD,∴∠ A=∠ D. ∵ EC∥ BF, ∴∠ BHA=∠ CGD.? (2分 ) ∵ AB=CD,∴ △ ABH≌ △ DCG, ∴ AH=DG,∴ AG=DH.? (5分 ) 思路分析 首先利用平行線的性質得出 ∠ A=∠ D,∠ BHA=∠ CGD,進而判定△ ABH≌ △ DCG, 最后根據全等三角形的性質及等量減等量差相等 ,得出結果 . 歸納總結 全等三角形的判定定理有 SSS、 SAS、 ASA、 AAS和 擇判定定理 .①當已知兩邊對應相等時 ,可考慮證夾角相等或第三邊相等 .②當已知兩角對應相 等時可考慮證夾邊相等或一角對邊相等 .③當已知角及鄰邊對應相等時可選用 SAS、 ASA或 AAS. 5.(2022內蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,已知 A、 F、 C、 D四點在同一條直線上 ,AF=CD,AB∥ DE,且 AB=DE. (1)求證 :△ ABC≌ △ DEF。 (2)若 EF=3,DE=4,∠ DEF=90176。,請直接寫出使四邊形 EFBC為菱形時 AF的長度 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB∥ DE,∴∠ A=∠ D, ∵ AF=CD,∴ AF+FC=CD+FC,即 AC=DF, 又 ∵ AB=DE,∴ △ ABC≌ △ DEF. (2)? (過點 E作 EO⊥ CF于 O,由 EF=3,ED=4,∠ DEF=90176。,可得 DF=5,所以 EO=,又四邊形 EFBC 為菱形 ,所以 FO=CO=,所以 AF=CD==). 756.(2022湖北黃岡 ,16,6分 )已知 :如圖 ,∠ BAC=∠ DAM,AB=AN,AD= :∠ B=∠ ANM. ? 證明 ∵∠ BAC=∠ DAM,∴∠ BAC∠ DAC=∠ DAM∠ DAC, 即 ∠ BAD=∠ NAM.? (2分 ) 在△ ABD和△ ANM中 ,? ∴ △ ABD≌ △ ANM(SAS).? (5分 ) ∴∠ B=∠ ANM.? (6分 ) ,A B A NB A D N A MA D A M???? ? ??? ??7.(2022吉林 ,18,5分 )如圖 ,點 E,F在 BC上 ,BE=CF,AB=DC,∠ B=∠ :∠ A=∠ D. ? 證明 ∵ BE=CF,∴ BE+EF=CF+EF. ∴ BF=CE.? (2分 ) 又 ∠ B=∠ C,AB=DC, ∴ △ ABF≌ △ DCE.? (4分 ) ∴∠ A=∠ D.? (5分 ) 8.(2022河北 ,21,9分 )如圖 ,點 B,F,C,E在直線 l上 (F,C之間不能直接測量 ),點 A,D在 l異側 ,測得 AB= DE,AC=DF,BF=EC. (1)求證 :△ ABC≌ △ DEF。 (2)指出圖中所有平行的線段 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ BF=EC, ∴ BF+FC=EC+CF,即 BC=EF.? (3分 ) 又 ∵ AB=DE,AC=DF, ∴ △ ABC≌ △ DEF.? (5分 ) (2)AB∥ DE,AC∥ DF.? (7分 ) 理由 :∵ △ ABC≌ △ DEF,∴∠ ABC=∠ DEF,∠ ACB=∠ DFE. ∴ AB∥ DE,AC∥ DF.? (9分 ) 9.(2022重慶 ,19,7分 )如圖 ,點 A,B,C,D在同一條直線上 ,CE∥ DF,EC=BD,AC= :AE=FB. ? 證明 ∵ CE∥ DF,∴∠ ACE=∠ D.? (3分 ) 在△ ACE和△ FDB中 , ∵ EC=BD,∠ ACE=∠ D,AC=FD,? (5分 ) ∴ △ ACE≌ △ FDB.? (6分 ) ∴ AE=FB.? (7分 ) 10.(2022山東青島 ,15,4分 )已知 :線段 a,∠ α. 求作 :△ ABC,使 AB=AC=a,∠ B=∠ α. ? 解析 ? 此圖即為所求作三角形 . 11.(2022濟南 ,23,7分 )(1)如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=AE,DF⊥ AE于點 F. 求證 :AB=DF. 證明 ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ B=90176。,AD∥ BC. ∴∠ DAF=∠ BEA. ∵ DF⊥ AE, ∴∠ AFD=90176。. ∴∠ B=∠ AFD=90176。. 又 ∵ AD=AE, ∴ △ ADF≌ △ EAB. ∴ AB=DF. 考點一 三角形的相關概念 C組 教師專用題組 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AC=8,∠ ABC=60176。,∠ C=45176。,AD⊥ BC,垂足為 D,∠ ABC的平 分線交 AD于點 E,則 AE的長為 ? ( ) ? ? ? C.? ? D.? ? 2243 283 2答案 D ∵ AC=8,∠ C=45176。,AD⊥ BC,∴ AD=ACsin 45176。=4? ,過點 E作 EF⊥ AB于點 F,∵ BE是 ∠ ABC的平分線 ,∴ DE=EF,∵∠ ABC=60176。,AD⊥ BC,∴∠ BAE=30176。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE, 又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 21222383 2思路分析 首先利用 AC的長及 ∠ C的正弦求出 AD的長 ,進而通過角平分線的性質及直角三角 形中 30度角的性質確定 DE和 AE的數量關系 ,最后求出 AE的長 . 2.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。,OP平分 ∠ AOB,且 OP= M,N分別在 OA,OB上 ,且 △ PMN為等邊三角形 ,則滿足上述條件的△ PMN有 ? ( ) ? 答案 D 如圖所示 ,過點 P分別作 OA,OB的垂線 ,垂足分別為 C,D,連接 CD,則△ PCD為等邊三 角形 .在 OC,DB上分別取 M,N,使 CM=DN,則△ PCM≌ △ PDN,所以 ∠ CPM=∠ DPN,PM=PN, ∠ MPN=60176。,則△ PMN為等邊三角形 ,因為滿足 CM=DN的 M,N有無數個 ,所以滿足題意的三角形 有無數個 . ? 3.(2022河北 ,10,3分 )如圖 ,已知鈍角△ ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖 ,并保留作圖痕跡 . ? 步驟 1:以 C為圓心 ,CA為半徑畫?、?。 步驟 2:以 B為圓心 ,BA為半徑畫?、?,交?、儆邳c D。 步驟 3:連接 AD,交 BC延長線于點 H. 下列敘述正確的是 ? ( ) AD ∠ BAD △ ABC=BCAH =AD 答案 A 由作圖可知點 B、 C到線段 AD的兩個端點的距離分別相等 ,∴ 點 B、 C都在線段 AD 的垂直平分線上 ,即直線 BC垂直平分線段 A. 4.(2022貴州遵義 ,11,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD中 ,∠ C=50176。,∠ B=∠ D=90176。,E、 F分別是 BC、 DC上 的點 ,當△ AEF的周長最小時 ,∠ EAF的度數為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D 如圖 ,作點 A關于 BC所在直線的對稱點 M,及關于 CD所在直線的對稱點 N,連接 MN,分別交 BC、 DC于點 E、 F,此時△ AEF的周長最小 .易知 ∠ M=∠ BAE,∠ N=∠ ABCD中 ,∠ BAD =360176。90176。90176。50176。=130176。,在△ AMN中 ,∠ M+∠ N=180176。∠ MAN=180176。130176。=50176。,所以 ∠ BAE+ ∠ DAF=50176。.所以 ∠ EAF=130176。50176。=80176。.故選 D. 5.(2022河北 ,15,2分 )如圖 ,點 A,B為定點 ,定直線 l∥ AB,P是 l上一動點 ,點 M,N分別為 PA ,PB的中 點 ,對于下列各值 : ? ①線段 MN的長 。 ②△ PAB的周長 。 ③△ PMN的面積 。 ④直線 MN,AB之間的距離 。 ⑤ ∠ APB的大小 . 其中會隨點 P的移動而變化的是 ? ( ) A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤ 答案 B ∵ 點 M,N分別為 PA ,PB的中點 ,∴ 無論點 P怎樣移動 ,總有 MN=? AB,直線 l與直線 MN 的距離及直線 MN,AB之間的距離不變 ,所以①③④中的值不變 .隨著點 P的移動 ,點 P與點 A,B的 距離及 ∠ APB的大小發(fā)生變化 ,故選 B. 126.(2022吉林長春 ,5,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點 D在 AB上 ,點 E在 AC上 ,DE∥ BC,若 ∠ A=62176。,∠ AED =54176。,則 ∠ B的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ DE∥ BC,∴∠ C=∠ AED=54176。, ∵∠ A=62176。,∴∠ B=180176。∠ A∠ C=64176。.故選 C. 7.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,AB=8,BC= DE是△ ABC的中位線 ,延長 DE 交△ ABC的外角 ∠ ACM的平分線于點 F,則線段 DF的長為 ? ( ) ? 答案 B ∵ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE∥ BC,DE=? BC=3, ∴∠ EFC=∠ FCM. ∵ AB=8,BC=6,∠ ABC=90176。, ∴ AC=? =10, ∵ E是 AC的中點 , ∴ EC=? AC=5. ∵ CF平分 ∠ ACM,∴∠ ACF=∠ FCM, ∴∠ ACF=∠ EFC, ∴ EF=EC=5, ∴ DF=DE+EF=8. 故選 B