【正文】 )連接 OD,由題意可知 ,四邊形 OFDE是矩形 ,則 OD=EF. 根據(jù)垂線段最短 ,可知當(dāng) OD⊥ AC時(shí) ,OD最短 ,即 EF最短 .? (8分 ) ? 設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (x,x22x3), 在 Rt△ AOC中 ,∵ OC=OA=3,OD⊥ AC, ∴ 點(diǎn) D是 AC的中點(diǎn) ,又 ∵ DF∥ OC, ∴ 點(diǎn) F是 AO的中點(diǎn) ,∴ DF=? OC=? . ∴ 點(diǎn) P的縱坐標(biāo)是 ? .? (9分 ) 則 x22x3=? ,解得 x=? . 123232322 1 02?∴ 當(dāng) EF最短時(shí) ,點(diǎn) P的坐標(biāo)是 ? 或 ? .? (10分 ) 2 1 0 3,22??? ?????2 1 0 3,? ?3.(2022廣州 ,25,14分 )已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,拋物線 y1=ax2+bx+c(a≠ 0)與 x軸相交于點(diǎn) A(x1,0),B(x2, 0),與 y軸交于點(diǎn) C,且 O,C兩點(diǎn)間的距離為 3,x1x20,|x1|+|x2|=4,點(diǎn) A,C在直線 y2=3x+t上 . (1)求點(diǎn) C的坐標(biāo) 。 (2)當(dāng) y1隨著 x的增大而增大時(shí) ,求自變量 x的取值范圍 。 (3)將拋物線 y1向左平移 n(n0)個(gè)單位 ,記平移后 y隨著 x的增大而增大的部分為 P,直線 y2向下平 移 n個(gè)單位 .當(dāng)平移后的直線與 P有公共點(diǎn)時(shí) ,求 2n25n的最小值 . 解析 (1)C1(0,3),C2(0,3). (2)①當(dāng)直線 y2=3x+t經(jīng)過點(diǎn) C1(0,3)時(shí) , 解得 t=3,因此 y2=3x+3, 與 x軸的交點(diǎn)為 A(1,0),則 x1=1, ∵ x1x20,|x1|+|x2|=4,∴ x2=3,B(3,0). 當(dāng) y1隨著 x的增大而增大時(shí) ,求自變量 x的取值范圍有如下兩種解法 : 解法一 :由于拋物線過點(diǎn) A(1,0),B(3,0),C1(0,3),則可設(shè)拋物線的解析式為 y1=a(x1)(x+3), ∴ a(01)(0+3)=3,∴ a=1, ∴ y1=(x1)(x+3)=x22x+3=(x+1)2+4, ∴ 當(dāng) x1時(shí) ,y1隨 x的增大而增大 . 解法二 :拋物線過點(diǎn) A(1,0),B(3,0),C1(0,3),其對(duì)稱軸為直線 x=? =1,拋物線開口向下 ,∴ 當(dāng) x1 時(shí) ,y1隨 x的增大而增大 . ②當(dāng)直線 y2=3x+t 經(jīng)過點(diǎn) C2(0,3)時(shí) , 解得 t=3,因此 y2=3x3, 132?與 x軸的交點(diǎn)為 A(1,0),則 x1=1, ∵ x1x20,|x1|+|x2|=4, ∴ x2=3,B(3,0). 同理可得出當(dāng) x1時(shí) ,y1隨 x的增大而增大 . (3)①當(dāng)拋物線 y1=x22x+3=(x+1)2+4向左平移 n個(gè)單位時(shí) ,其頂點(diǎn)變?yōu)?(1n,4), 直線 y2=3x+3向下平移 n個(gè)單位后的解析式為 y=3x+3n,當(dāng)平移后的直線 y=3x+3n經(jīng)過點(diǎn) (1 n,4)時(shí) , 3(1n)+3n=4,∴ n=1. ∵ n0,∴ n=1舍去 。 ②當(dāng)拋物線 y1=x22x3=(x1)24向左平移 n個(gè)單位時(shí) ,其頂點(diǎn)變?yōu)?(1n,4), 直線 y2=3x3向下平移 n個(gè)單位后的解析式為 y=3x3n, 當(dāng)平移后的直線 y=3x3n經(jīng)過點(diǎn) (1n,4)時(shí) , 3(1n)3n=4,∴ n=1. 根據(jù)圖象分析 ,當(dāng) n≥ 1時(shí) ,平移后的直線與平移后的拋物線中 y隨著 x的增大而增大的那部分圖 象有公共點(diǎn) ,此時(shí) 2n25n=2? ? 的最小值為 ? . 254???????258 8考點(diǎn)三 二次函數(shù)的應(yīng)用 1.(2022廣州 ,24,14分 )已知拋物線 y=x2+mx2m4(m0). (1)證明 :該拋物線與 x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 。 (2)設(shè)該拋物線與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A,B(點(diǎn) A在點(diǎn) B的右側(cè) ),與 y軸交于點(diǎn) C,A,B,C三點(diǎn)都在 ☉ P上 . ①試判斷 :無論 m取何正數(shù) ,☉ P是否經(jīng)過 y軸上某個(gè)定點(diǎn) .若是 ,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 。若不是 ,說明 理由 。 ②若點(diǎn) C關(guān)于直線 x=? 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) E,點(diǎn) D(0,1),連接 BE,BD,DE,△ BDE的周長記為 l,☉ P的半 徑記為 r,求 ? 的值 . 2mlr解析 (1)證明 :當(dāng) y=0時(shí) ,x2+mx2m4=0, Δ=m24(2m4)=(m+4)2, ∵ m0,∴ (m+4)20, ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,即拋物線總與 x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) . (2)①是 .如圖 ,設(shè)圓 P經(jīng)過 y軸上的定點(diǎn) MA,BC. ? 當(dāng) y=0時(shí) ,x2+mx2m4=0, 解得 x1=2,x2=m2. ∴ A(2,0),B(m2,0). 當(dāng) x=0時(shí) ,y=2m4, ∴ C(0,2m4). ∵∠ BCO=∠ MAO,∠ BOC=∠ MOA, ∴ △ BOC∽ △ MOA, ∴ ? =? =? =? , ∴ MO=? AO=1. ∴ 圓 P經(jīng)過 y軸上的定點(diǎn) (0,1). ②連接 AD,因?yàn)?AB為圓 P的一條弦 ,所以圓心 P在拋物線的對(duì)稱軸上 , 根據(jù)拋物線與圓的對(duì)稱性可知 ,E在圓上 ,連接 EC. ∵∠ ECD=90176。,∴ DE為圓 P的一條直徑 ,∴ DE=2r. BOCO| 2 || 2 4 |mm??1212? ∵∠ BED=∠ OAD,∠ EBD=∠ DOA=90176。, ∴ △ EBD∽ △ AOD, ∴ BD∶ BE∶ DE=DO∶ OA∶ AD=1∶ 2∶ ? . ∵ ED=2r,∴ BD=? r,BE=? r. ∴ l=BD+BE+DE=? r, ∴ ? =? . 52554551 0 6 55?lr1 6 55?思路分析 (1)將根的判別式進(jìn)行配方即可得到結(jié)論 . (2)①判斷☉ P經(jīng)過 y軸上除 C點(diǎn)以外的點(diǎn)是不是定點(diǎn) ,也就是判斷 OM的長是不是與 m無關(guān) .通過 △ MOA與△ BOC相似 ,得到對(duì)應(yīng)線段成比例 ,求出 OM=1.②先說明 DE是☉ P的直徑 ,得 DE=2r,再 通過△ EBD與△ AOD相似可把 BD、 BE用 r表示出來 ,則△ EBD的周長也可用 r表示出來 ,最后求 出 ? . lr2.(2022深圳 ,23,9分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn) A(1,0),B(4,0),交 y軸于點(diǎn) C. (1)求拋物線的解析式 (用一般式表示 )。 (2)點(diǎn) D為 y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn) ,是否存在點(diǎn) D,使 S△ ABD=? S△ ABC,若存在 ,請(qǐng)直接給出點(diǎn) D的坐標(biāo) 。 若不存在 ,請(qǐng)說明理由 。 (3)將直線 BC繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45176。得到 BE,與拋物線交于另一點(diǎn) E,求 BE的長 . ? 32解析 (1)由題意得 ? 解得 ? ∴ y=? x2+? x+2. (2)依題意知 AB=5,OC=2, ∴ S△ ABC=? ABOC=? 52=5, ∵ S△ ABD=? S△ ABC, ∴ S△ ABD=? 5=? . 設(shè) D? (m0). ∵ S△ ABD=? AB|yD|=? , ∴ ? 5? =? , 解得 m=1或 m=2或 m=2(舍去 )或 m=5, 2 0,16 4 2 0,abab? ? ??? ? ? ??1 ,23 ,2ab? ?????? ???1312 13232152213,222m m m??? ? ?????12 21213 222mm? ? ?2∴ D1(1,3),D2(2,3),D3(5,3). (3)過點(diǎn) C作 CF⊥ BC,交 BE于點(diǎn) F, 過點(diǎn) F作 y軸的垂線 ,交 y軸于點(diǎn) H, ∵∠ CBF=45176。,∠ BCF=90176。, ∴ CF=CB, ∵∠ BCF=90176。,∠ FHC=90176。, ∴∠ HCF+∠ BCO=90176。,∠ HCF+∠ HFC=90176。, ∴∠ HFC=∠ BCO, ∵ ? ∴ △ CHF≌ △ BOC(AAS). ∴ HF=OC=2,HC=BO=4, ∴ F(2,6), 易求得直線 BF:y=3x+12, 聯(lián)立 ? 解得 ?? 故 E(5,3). ,C H F C O BH F C B C OF C C B? ? ???? ? ??? ??213 2,223 1 2 ,y x xyx? ? ? ? ????? ? ?? 115,3,xy ??? ??? 22 4,0,xy ??? ??∴ BE=?= ? . (5 4) ( 3 0)? ???10一題多解 (3)∵ AO=1,OC=2,OB=4,AB=5, ∴ AC=? =? ,BC=? =2? , ∴ AC2+BC2=AB2, ∴ △ ABC為直角三角形 ,即 BC⊥ AC, 如圖 ,設(shè)直線 AC與直線 BE交于點(diǎn) F,過 F作 FM⊥ x軸于點(diǎn) M, ? 由題意可知 ∠ FBC=45176。, ∴∠ CFB=45176。, ∴ CF=BC=2? , ∵ CO∥ FM, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 OM=2,? =? ,即 ? =? , 2212?5 24?55AOAC1 525OCFMACAF2 535解得 FM=6, ∴ F(2,6), 設(shè)直線 BE的解析式為 y=kx+m,則 ? 解得 ? ∴ 直線 BE的解析式為 y=3x+12, 聯(lián)立直線 BE和拋物線方程 ? 解得 ? 或 ? ∴ E(5,3), ∴ BE=?= ? . 2 6 ,4 0 ,kmkm???? ??? 3,1 2 ,km ???? ??23 1 2,13 2,22yxy x x? ? ???? ? ? ? ??4,0xy ??? ??5,3,xy ??? ??? 22(5 4) ( 3)? ??103.(2022廣東 ,23,9分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=x2+ax+b交 x軸于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,點(diǎn) P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn) ,直線 BP與 y軸相交于點(diǎn) C. (1)求拋物線 y=x2+ax+b的解析式 。 (2)當(dāng)點(diǎn) P是線段 BC的中點(diǎn)時(shí) ,求點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 (3)在 (2)的條件下 ,求 sin∠ OCB的值 . ? 解析 (1)把 A(1,0),B(3,0)代入拋物線 y=x2+ax+b得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+4x3. (2)當(dāng)點(diǎn) P是線段 BC的中點(diǎn)時(shí) ,易得點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 ? , 當(dāng) x=? 時(shí) ,y=? ,∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ? . (3)由 (2)得點(diǎn) C的坐標(biāo)為 ? , ∴ OC=? ,又 OB=3, ∴ BC=? =? . ∴ sin∠ OCB=? =? =? . 0 1 ,0 9 3 ,abab? ? ? ??? ? ? ? ?? 4, ??? ???32323433,24??????30,232 22OC OB?35232255思路分析 (1)將 A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 ,求解即可 。(2)利用三角形中位線的性 質(zhì)得點(diǎn) P的橫坐標(biāo) ,因?yàn)辄c(diǎn) P在拋物線上 ,將其橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式 ,得點(diǎn) P的縱坐標(biāo) 。(3) 由 (2)可得點(diǎn) C的坐標(biāo) ,進(jìn)而可得 OC的長 ,再利用勾股定理求 BC的長 ,進(jìn)而求得 sin∠ OCB的值 . 4.(2022茂名 ,25,8分 )如圖 ,拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,且與 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) D是拋 物線的頂點(diǎn) ,拋物線的對(duì)稱軸 DE交 x軸于點(diǎn) E,連接 BD. (1)求經(jīng)過 A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式 。(2分 ) (2)點(diǎn) P是線段 BD上一點(diǎn) ,當(dāng) PE=PC時(shí) ,求點(diǎn) P的坐標(biāo) 。(3分 ) (3)在 (2)的條件下 ,過點(diǎn) P作 PF⊥ x軸于點(diǎn) F,G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn) ,M為 x軸上一動(dòng)點(diǎn) ,N為直線 PF 上一動(dòng)點(diǎn) ,當(dāng)以 F、 M、 N、 G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí) ,請(qǐng)求出點(diǎn) M的坐標(biāo) .(3分 ) ? ? 解析 (1)∵ 拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) , ∴ ? 解得 ? ? (1分 ) ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2+2x+3.? (2分 ) (2)如圖 1,連接 PC,PE. ? 圖 1 ? =? =1,當(dāng) x=1時(shí) ,y=1+2+3=4, ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,4).? (3分 ) 設(shè)直線 BD的表達(dá)式為 y=mx+n(m≠ 0),將 B,D的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式 ,得 ? 則直線 BD的表 達(dá)式為 y=2x+6.? (4分 ) 1 0,9 3 0,bcbc? ? ? ???? ? ? ?? 2, ??? ??2ba22 ( 1)?? 2,6,mn ???? ??設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (x,2x+6),易知 C的坐標(biāo)為 (0,3). ∴ 由勾股定理可得 PC2=x2+(3+2x6)2,P