【正文】 S△ AOC=? 104=20,S△ BOC=? 52=5,∴ S△ AOCS△ BOC=205=1 5. (3)? ,2,? . 詳解 :一次函數(shù) y=kx+1的圖象經(jīng)過點 (0,1),一次函數(shù) y=kx+1的圖象為 l3,且 l1,l2,l3不能圍成三角形 , ∴ 當 l3經(jīng)過點 C(2,4)時 ,l1,l2,l3不能圍成三角形 ,2k+1=4,解得 k=? 。 當 l2,l3平行時 ,l1,l2,l3不能圍成三角形 ,k=2。 當 l1,l3平行時 ,l1,l2,l3不能圍成三角形 ,k=? . 12121212 12 1212 323212思路分析 (1)先求得點 C的坐標 ,再運用待定系數(shù)法求出 l2的解析式 。(2)先求出 A,B的坐標 ,再根 據(jù)點 C的坐標分別求出 S△ AOC和 S△ BOC,進而得出 S△ AOCS△ BOC的值 。(3)一次函數(shù) y=kx+1的圖象經(jīng)過點 (0,1),l1,l2,l3不能圍成三角形分三種情況 :當 l3經(jīng)過點 C(2,4)時 ,l1,l2,l3不能圍成三角形 ,k=? 。當 l2,l3平 行時 ,l1,l2,l3不能圍成三角形 ,k=2。當 l1,l3平行時 ,l1,l2,l3不能圍成三角形 ,k=? . 3212易錯警示 往往忽略 l3經(jīng)過點 C(2,4)時 ,l1,l2,l3不能圍成三角形而致錯 . 考點二 一次函數(shù) (正比例函數(shù) )的應(yīng)用問題 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,10,3分 )明君社區(qū)有一塊空地需要綠化 ,某綠化組承擔(dān)了此項任務(wù) ,綠化 組工作一段時間后 ,提高了工作效率 .該綠化組完成的綠化面積 S(單位 :m2)與工作時間 t(單位 :h) 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 .則該綠化組提高工作效率前每小時完成的綠化面積是 ? ( ) ? m2 m2 m2 m2 答案 B 設(shè)提高效率后 S與 t的函數(shù)解析式為 S=kt+b(k≠ 0),t≥ 2,把 (4,1 200)、 (5,1 650)代入得 ? 解得 ? 所以提高效率后的函數(shù)解析式為 S=450t600(t≥ 2).把 t=2代入解析 式 S=450t600,得 S=300,則綠化組提高工作效率前每小時完成的綠化面積為 300247。2=150 m2,故 選 B. 4 1 200,5 1 650,kbkb???? ??? 4 5 0 ,6 0 0 ,kb ??? ???2.(2022遼寧沈陽 ,15,4分 )如圖 1,在某個盛水容器內(nèi) ,有一個小水杯 ,小水杯內(nèi)有部分水 ,現(xiàn)在勻 速持續(xù)地向小水杯內(nèi)注水 ,注滿小水杯后 ,繼續(xù)注水 .小水杯內(nèi)水的高度 y(cm)和注水時間 x(s)之 間的關(guān)系滿足圖 2中的圖象 ,則至少需要 s能把小水杯注滿水 . ? 答案 5 解析 設(shè) t s時恰好注滿小水杯 .在向小水杯內(nèi)注水的過程中 ,當 0≤ x≤ t時 ,小水杯內(nèi)水的高度 y (cm)與注水時間 x(s)的圖象是一條線段 ,這條線段所在直線過 (0,1),(2,5),(t,11)三點 .設(shè)這條直線 的解析式為 y=kx+b(k≠ 0),則 ? 解這個方程組 ,得 ? ∴ 這條直線的解析式為 y=2x+ y=11時 ,有 11=2t+1,∴ t=5.∴ 至少需要 5 s能把小水杯注滿水 . 1 0 ,5 2 ,kbkb? ? ??? ??? 2, ??? ??評 析 由函數(shù)圖象的形狀確定函數(shù)的類型是用函數(shù)模型解決實際問題最常用的方法 .當函數(shù) 圖象為直線 (或其一部分 )時 ,該函數(shù)為一次函數(shù) 。當函數(shù)圖象為雙曲線 (或其一部分 )時 ,該函數(shù) 為反比例函數(shù) 。當函數(shù)圖象為拋物線 (或其一部分 )時 ,該函數(shù)為二次函數(shù) . 3.(2022湖北武漢 ,20,8分 )用 1塊 A型鋼板可制成 2塊 C型鋼板和 1塊 D型鋼板 。用 1塊 B型鋼板可制 成 1塊 C型鋼板和 3塊 D型鋼板 .現(xiàn)準備購買 A、 B型鋼板共 100塊 ,并全部加工成 C、 D型鋼板 .要 求 C型鋼板不少于 120塊 ,D型鋼板不少于 250塊 ,設(shè)購買 A型鋼板 x塊 (x為整數(shù) ). (1)求 A、 B型鋼板的購買方案共有多少種 。 (2)出售 C型鋼板每塊利潤為 100元 ,D型鋼板每塊利潤為 120元 .若將 C、 D型鋼板全部出售 ,請你 設(shè)計獲利最大的購買方案 . 解析 (1)依題意 ,得 ? 解得 20≤ x≤ 25, ∵ x為整數(shù) ,∴ x=20,21,22,23,24,25. 答 :A,B型鋼板的購買方案共有 6種 . (2)設(shè)全部出售后共獲利 y元 .依題意 ,得 y=100[2x+1(100x)]+120[x+3(100x)], 即 y=140x+46 000. ∵ 1400,∴ y隨 x的增大而減小 , ∴ 當 x=20時 ,y的最大值是 43 200. 答 :獲利最大的購買方案是購買 A型鋼板 20塊 ,B型鋼板 80塊 . 2 1 (100 ) 120,3 (100 ) ? ? ? ??? ? ? ? ??思路分析 (1)根據(jù)“ C型鋼板不少于 120塊 ,D型鋼板不少于 250塊”建立不等式組 ,即可得出 x 的取值范圍進而得出結(jié)論 。(2)先建立獲利 y和 x的關(guān)系式 ,進而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出最大獲 利的購買方案 . 方法歸納 用一次函數(shù)解決實際問題的一般步驟 : (1)設(shè)定實際問題中的自變量與因變量 。 (2)通過待定系數(shù)法或根據(jù)題意直接求出一次函數(shù)的解析式 。 (3)確定自變量的取值范圍 。 (4)利用函數(shù)性質(zhì)解決實際問題 。 (5)檢驗所求解是否符合實際意義 . 4.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,22,10分 )某班級同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去扎龍自然保護區(qū)研學(xué)旅行 ,一部分 乘坐大客車先出發(fā) ,余下的幾人 20 min后乘坐小轎車沿同一路線出行 .大客車中途停車等候 ,小 轎車趕上來之后 ,大客車以出發(fā)時速度的 ? 繼續(xù)行駛 ,小轎車保持原速度不變 .小轎車司機因 路線不熟錯過了景點入口 ,在駛過景點入口 6 km時 ,原路提速返回 ,恰好與大客車同時到達景點 入口 .兩車距學(xué)校的路程 s(單位 :km)和行駛時間 t(單位 :min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 . 請結(jié)合圖象解決下列問題 : (1)學(xué)校到景點的路程為 km,大客車途中停留了 min,a= 。 (2)在小轎車司機駛過景點入口時 ,大客車離景點入口還有多遠 ? (3)小轎車司機到達景點入口時發(fā)現(xiàn)本路段限速 80 km/h,請你幫助小轎車司機計算折返時是否 超速 ? (4)若大客車一直以出發(fā)時的速度行駛 ,中途不再停車 ,那么小轎車折 返后到達景點入口 ,需等待 分鐘 ,大客車才能到達景點入口 . 107解析 (1)學(xué)校到景點的路程為 40 km,大客車途中停留了 5 min,a=15.? (3分 ) (2)由 (1)得 ,a=15,易得 E(70,40),? (4分 ) 設(shè)線段 CE的解析式為 s=kt+b(k≠ 0,35≤ t≤ 70), 將 (35,15)和 (70,40)代入線段 CE的解析式中 ,得 ? 解得 ? ∴ 線段 CE的解析式為 s=? t10(35≤ t≤ 70),? (5分 ) 當 t=60時 ,s=? , ∴ 大客車離景點入口還有 40? =? km.? (6分 ) (3)設(shè)直線 CD的解析式為 s=k1t+b1(k1≠ 0), 將 (20,0)和 (60,40)代入解析式中 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 CD的解析式為 s=t20,? (7分 )當 s=46時 ,t=66, 小轎車折返時的速度為 6247。(7066)=? km/min=90 km/h80 km/h,? (8分 ) 15 35 ,40 70 ,kbkb????? 5 ,7 1 0 ,kb? ???? ???5723072307 50711110 20 ,40 60 ,kbkb????? 11 1,2 0 ,kb ??? ???32∴ 折返時超速 . (4)10.? (10分 )(注 :函數(shù)解析式中的變量沒有使用 s和 t的 ,整體扣一分 ) 5.(2022天津 ,23,10分 )某游泳館每年夏季推出兩種游泳付費方式 .方式一 :先購買會員證 ,每張會 員證 100元 ,只限本人當年使用 ,憑證游泳每次再付費 5元 。方式二 :不購買會員證 ,每次游泳付費 9 元 . 設(shè)小明計劃今年夏季游泳次數(shù)為 x(x為正整數(shù) ). (1)根據(jù)題意 ,填寫下表 : 游泳次數(shù) 10 15 20 … x 方式一的總費用 (元 ) 150 175 … 方式二的總費用 (元 ) 90 135 … (2)若小明計劃今年夏季游泳的總費用為 270元 ,選擇哪種付費方式 ,他游泳的次數(shù)比較多 ? (3)當 x20時 ,小明選擇哪種付費方式更合算 ?并說明理由 . 解析 (1)200,5x+100,180,9x. (2)方式一 :5x+100=270,解得 x=34. 方式二 :9x=270,解得 x=30. ∵ 3430, ∴ 小明選擇方式一游泳次數(shù)比較多 . (3)設(shè)方式一與方式二的總費用的差為 y元 . 則 y=(5x+100)9x, 即 y=4x+100. 當 y=0時 ,即 4x+100=0,得 x=25. ∴ 當 x=25時 ,小明選擇這兩種方式一樣合算 . ∵ 40,∴ y隨 x的增大而減小 . ∴ 當 20x25時 ,y0,小明選擇方式二更合算 。 當 x25時 ,y0,小明選擇方式一更合算 . 思路分析 (1)根據(jù)題目所描述的兩種付費方式 ,進行填表 。(2)根據(jù)兩種付費方式與次數(shù) x的關(guān) 系 ,列出方程求解 。(3)當 x20時 ,把兩種付費方式作差比較即可得結(jié)論 . 方法規(guī)律 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用 ,根據(jù)題意寫出兩種付費方式的函數(shù)式 ,代入函數(shù)值即可 求得自變量的值 。比較兩函數(shù)值的差 ,結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì) ,可以確定更合算的付費方式 . 6.(2022遼寧沈陽 ,23,10分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,點 F的坐標為 (0,10),點 E的坐標為 (20,0), 直線 l1經(jīng)過點 F和點 E,直線 l1與直線 l2:y=? x相交于點 P. (1)求直線 l1的表達式和點 P的坐標 。 (2)矩形 ABCD的邊 AB在 y軸的正半軸上 ,點 A與點 F重合 ,點 B在線段 OF上 ,邊 AD平行于 x軸 ,且 AB =6,AD=9,將矩形 ABCD沿射線 FE的方向平移 ,邊 AD始終與 x軸平行 ,已知矩形 ABCD以每秒 ? 個單位的速度勻速移動 (點 A移動到點 E時停止移動 ),設(shè)移動時間為 t秒 (t0), ① 矩形 ABCD在移動過程中 ,B、 C、 D三點中有且只有一個頂點落在直線 l1或 l2上 ,請 直接 寫出 此時 t的值 。 ② 若矩形 ABCD在移動的過程中 ,直線 CD交直線 l1于點 N,交直線 l2于點 M,當△ PMN的面積等于 18時 ,請 直接 寫出此時 t的值 . ? 345 備用圖 1 備用圖 2 解析 (1)設(shè)直線 l1的表達式為 y=kx+b(k≠ 0), ∵ 直線 l1過點 F(0,10)和點 E(20,0), ∴ ? 解得 ? ∴ 直線 l1的表達式為 y=? x+10. 解方程組 ? 得 ? ∴ P點的坐標為 (8,6). (2)① ? 或 ? .② ? ? . 詳解 :① 當點 B落在直線 l2上時 ,設(shè) B? ,則 A? ,AB=? x+10? x=6,解得 x=? ,此時 ,A ? ,AF=? ,t=? 。 當點 D落在直線 l2上時 ,設(shè) D ? ,則 A? x9,? (x9)+10? ,由 AD∥ x軸 ,可得 ? x=? (x9)+10,解得 1 0 ,2 0 0 ,b kb??? ??? 1 ,? ????? ??121 1 0 ,23 ,4yxyx? ? ? ????? ???8, ??? ??85 1310 655 123, 4xx?????? 1, 102xx????????12 34 1651 6 4 2,55??????855 853, 4xx?????? 12 34 12x=? ,此時 ,A? ,AF=? ,t=? . 在運動的過程中 ,點 C不可能落在兩條直線上 . ② 設(shè) N? ,則 M? ,MN=? x? ,點 P到 MN的距離為 x8. ∴ S△ PMN=? (x8)? =18,解得 x=8177。? , ∵ 點 A在第一象限 ,∴ A? ,∴ AF=6? ,t=? ? . 585 1 3 8 7,5 1 0??????1 3 510 13101, 102xx????????3,4xx??????341 102 x????????1231 1042xx????? ? ?????????1 2 5512 5 21 6 51,5 2 5????????52 655 12思路分析 (1)已知直線上兩點