【正文】 +50 +20 +30,, 0、B、C加工成三種不同牌號的糖果甲乙丙，已知各種糖果中ABC含量，原料成本，各種原料的每月限制用量，三種牌號糖果的單位加工費用及售價如表所示：原料甲乙丙原料成本（元/千克）每月限制用量（千克）A60%15%22000B2500C20%60%50%11200加工費售價問該廠每月應(yīng)當生產(chǎn)這三種牌號糖果各多少千克，使得獲利最大？建立數(shù)學(xué)模型。解:解：設(shè)，是甲糖果中的A，B，C成分，，是乙糖果的A，B，C成分，，是丙糖果的A，B，C成分。線性規(guī)劃模型：Max z=+++++++. ++ + ++ + + ++2000 ++2500 ++1200,, 0、III。每種產(chǎn)品經(jīng)過AB兩道加工程序，該廠有兩種設(shè)備能完成A工序，他們以,表示；有三種設(shè)備完成B工序，分別為，；產(chǎn)品I可以在AB任何一種設(shè)備上加工，產(chǎn)品可以在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時，只能在設(shè)備上加工；產(chǎn)品III只能在，上加工。已知條件如下表，要求安排最優(yōu)生產(chǎn)計劃，使該廠利潤最大化。設(shè)備產(chǎn)品設(shè)備有效臺時滿負荷時的設(shè)備費用IIIIII5106000300791210000321684000250411700078374000200原料費單價解：產(chǎn)品1，設(shè),完成A工序的產(chǎn)品，件；B工序時，,，完成B工序的，件，產(chǎn)品，設(shè),完成A工序的產(chǎn)品，件；B工序時，完成B的產(chǎn)品為件；產(chǎn)品111，完成A工序的件，完成B工序的件；+ = + + + = 建立數(shù)學(xué)模型：Max z=()*( + )+()*( + )+() (5 +10 )300/6000(7 +9 +12 )321/10000(6 +8 )250/4000(4 +11 )783/70007 *200/4000 5 +10 60007 +9 +12 100006 +8 40004 +11 70007 4000+ = + + + = ,, 0最優(yōu)解為X=（1200，230，0，859，571，0，500，500，324 最優(yōu)值1147.試題：1. （2005年華南理工大學(xué)）設(shè)某種動物每天至少需要700克蛋白質(zhì)、30克礦物質(zhì)、100毫克維生素?，F(xiàn)有5種飼料可供選擇，每種飼料每公斤營養(yǎng)成分的含量及單價如下表所示：試建立既滿足動物生長需要，又使費用最省的選用飼料方案的線性規(guī)劃模型。表 1—1飼料蛋白質(zhì)（克）礦物質(zhì)（克）維生素（毫克）價格（元/公斤）131221314622518解題分析：這是一道較簡單的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型問題，根據(jù)題意寫出約束即可。解題過程：第二章（67頁）。（1）Max z=62+32+32+44，0（2）min z=2+3+=34+36+23,0解：（1）先化成標準型：Max z=62+3+0+0. 2+2+=2 +4+=4 , 0令=（，）= =（,=(0,0)=(,)= , =（，=(6,2,3)，=,=非基變量的檢驗數(shù)===(6,2,3)因為的檢驗數(shù)等于6，是最大值，所以，為換入變量，=；=由規(guī)則得：=1為換出變量。=(，)=,=（,，=(6,0).=(,), =（，=(0，2，3)，=,=非基變量的檢驗數(shù) =（3，1，3）因為的檢驗數(shù)為1，是正的最大數(shù)。所以為換入變量；=由規(guī)則得：=6所以是換出變量。=(，)=,=（,，=(6,2).=(,，), =（，=(0，0，3)，=,=非基變量的檢驗數(shù) =（2，2，9）非基變量的檢驗數(shù)均為負數(shù)，愿問題已達最優(yōu)解。最優(yōu)解X= 即：X=（4,6,0目標函數(shù)最優(yōu)值 max z=12 （2） 解 ：Min z=2++0+M+M+0. 3++=34+3+=6+2+=3,, 0M是任意大的正數(shù)。（非基變量檢驗數(shù)計算省略）原問題最優(yōu)解是X=（，0）目標函數(shù)最優(yōu)值： z=12/5，用單純形法計算得到的中間某兩步的加算表見表，試將空白處數(shù)字填上。354000b58/32/3101/300014/34/3052/310020/35/3042/3011/3045/300...15/418/4110/416/415/414/412/4112/4115/41解：354000b58/3014/3020/3...580/4101015/41450/410016/41344/411002/4100045/41。（1）min z= 2 +2 +4 2 +3 +5 23 + +7 3+4 +6 5 , 0（1）解：對偶問題是：Max w=235. 232 342 5764,0(2)max z= +2+3 +4 +3=56+7+3581299+920,0。 0。無約束解：對偶問題：Min w=5+8+20. +6+121 +792 +393 35+9=4無約束，0；0（3）min z= i=1,…,m j=1,…,n0解：對偶問題: max w=+. + , 無約束 i=1,2,….m。 j=1,2,….n(4)Max z=, i=1,…., , i=0,當j=1，….，無約束，當j=解：Min w=. j=1,2,3… j=+1, +2,….n0 i=1,2…. 無約束， i=+1, +2….m，并說明為什么.(1)如線性規(guī)劃問題的原文題存在可行解，則其對偶問題也一定存在可行解。（2）如線性規(guī)劃的對偶問題無可行解，則原問題也一定無可行解。（3）如果線性規(guī)劃問題的原問題和對偶問題都具有可行解，則該線性規(guī)劃問題一定有有限最優(yōu)解。(1)錯誤，原問題有可行解，對偶問題可能存在可行解，也可能不存在；（2）錯誤，對偶問題沒有可行解，原問題可能有可行解也可能有無界解；（3）錯誤，原問題和對偶問題都有可行解，則可能有有限最優(yōu)解也可能有無界解；：Max = ，i=1，2…，m（）是其對偶問題的最優(yōu)解。又設(shè)線性規(guī)劃問題2是Max + ，i=1，2…，m其中是給定的常數(shù)，求證： +解：證明：把原問題用矩陣表示：Max =CX. AXb X0b=（,...設(shè) 可行解為,對偶問題的最優(yōu)解=（，… ）已知。Max =CX. AXb+k X0k=（,...設(shè)可行解為，對偶問題最優(yōu)解是,對偶問題是，Min w=Y(b+k). YA C Y 0因為是最優(yōu)解，所以（b+k）（b+k）是目標函數(shù)的可行解，Ab+k ；A（b+k）b+Yk原問題和對偶問題的最優(yōu)函數(shù)值相等，所以不等式成立，證畢。 Max z==用單純形法求解，得到最終單純形表如表所示，要求：（1） 求，，，，的值；（2） 求的值；3/21011/21/221/2101230004解：（1）初始單純形表的增廣矩陣是：=最終單純形表的增廣矩陣為=是作初等變換得來的，將作初等變換，使得的第四列和第五列的矩陣成為的單位矩陣。有：=9/2； =1； =4； =5/2； =1； =2；=9； =5由檢驗計算得：=3； ==0Max z=2++5+6 . 2++82+2++2120，j=1,…4對偶變量，其對偶問題的最優(yōu)解是=4，試應(yīng)用對偶問題的性質(zhì)，求原問題的最優(yōu)解。解：對偶問題是：Min w=8+12 . 2+22 21 +5 +26 ，0互補松弛性可知，如，是原問題和對偶問題的可行解，那么，=0和=0，當且僅當，是最優(yōu)解。設(shè) X,Y是原問題和對偶問題的可行解，=（，，）有：Y=0。 且 X=0==0，原問題約束條件取等號，=4；=4最優(yōu)解X=（0，0，4，4 目標函數(shù)最優(yōu)值為44。（1）min z=+ 2+4 +77 ,0(2) min z=3+2++42+4+5+ 03 +72 25+2++10 15 , , 0解：（1）取w=z，標準形式：Max w=+0+0. 2+=47+=7 ，，0單純形法求解（略）：最優(yōu)解：X=（21/13，10/13，0，0 目標函數(shù)最優(yōu)值為31/13。（2）令：w=z，轉(zhuǎn)化為標準形式：Max w=324+0+0+0.245+=03+7+2+=2526+=15，，，0單純形法略原問題最優(yōu)解：X=（3，0，0，0，6，7，0 目標函數(shù)最優(yōu)值為9。max z= 5+5+13 ++3 2012 +4+10 90 ， 0先用單純形法求出最優(yōu)解，然后分析在下列各種條件下，最優(yōu)解分別有什么變化？（1） 約束條件1的右端常數(shù)20變?yōu)?0（2） 約束條件2的右端常數(shù)90變?yōu)?0（3） 目標函數(shù)中的系數(shù)變?yōu)?（4） 的系數(shù)向量變?yōu)椋?） 增加一個約束條件2+3+550（6） 將約束條件2變?yōu)?0+5+10100解： 把原問題化成標準型的：Max z=5 +5 +13 +0 +0 + +3 + =2012 +4 +10 + =90，，0單純形法解得：最優(yōu)解：X=（0，20，0，0，10 目標函數(shù)最優(yōu)值為100。非基變量的檢驗數(shù)等于0，原線性問題有無窮多最優(yōu)解。（1）約束條件的右端常數(shù)變?yōu)?0有 因此 單純形法解得：最優(yōu)解：X=（0，0，9，3，0 目標函數(shù)最優(yōu)值為117。（2）約束條件右端常數(shù)變?yōu)?0 有 因此 單純形法解得，最優(yōu)解：X=（0，5，5，0，0 目標函數(shù)最優(yōu)值為90。（3）的系數(shù)變成8，是非基變量，檢驗數(shù)小于0，所以最優(yōu)解不變。（4）的系數(shù)向量變?yōu)槭欠腔兞浚瑱z驗數(shù)等于5，所以最優(yōu)解不變。（5）解：加入約束條件用對偶單純形表計算得：X=（0，25/2，5/2，0，15，0 目標函數(shù)最優(yōu)值為95。（6）改變約束條件，沒有變化，線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解不變。,II,III三種產(chǎn)品，各產(chǎn)品在ABC設(shè)備上加工，數(shù)據(jù)如下表，設(shè)備代號IIIIII每月設(shè)備有效臺時A8210300B1058400C21310420單位產(chǎn)品利潤/千元32（1）如何充分發(fā)揮設(shè)備能力，使生產(chǎn)盈利最大？（2）如果為了增加產(chǎn)量，可借用其他工廠的