【正文】 是能用畫圖工具精確畫出的圖形。我們根據(jù)條件將圖形精確的畫出：（這里圖（2）中等邊EFG雖然G點(diǎn)位置不能確定，但是可以根據(jù)EF已知，EFG是等邊三角形，運(yùn)用尺規(guī)作圖方法可以確定EFG的位置。尺規(guī)作圖知識(shí)點(diǎn)在中考中不是經(jīng)常出現(xiàn)，但是用尺規(guī)作圖方法來(lái)解題，卻是數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常出現(xiàn)的思路）。通過(guò)畫精確的圖形我們發(fā)現(xiàn)圖（1）當(dāng)E在邊AB上時(shí)，觀察得到EF//AC，EG//BC，F(xiàn)G//AB。圖（2）當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，觀察得到FG⊥CM。那么現(xiàn)在我們不再由于第三小題的問(wèn)題無(wú)法解決而致使第四題的解題無(wú)方向。通過(guò)觀察圖形得出的結(jié)論，現(xiàn)在做的只要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖C明：如圖（1）BE=2，BF=2，是等邊三角形EF//AC，結(jié)論成立。所以。如圖（2）EF=FN=NG=MN=MA=2AE=1，結(jié)論成立。所以。這里我們跳過(guò)了第三題利用已知條件畫出精確圖形而解出第四題。通過(guò)上面例題可以知道，當(dāng)給出的圖形是一個(gè)確定的圖形，而給出的條件也是確定的即這個(gè)圖形可以運(yùn)用我們手上的畫圖工具精確的畫出圖形，然后通過(guò)觀察圖形得到圖形的特點(diǎn)，最后再證明我們觀察到的結(jié)論，這樣可以避免我們?cè)诓磺宄承l件的情況下，找到一個(gè)明確的解題方向。初中數(shù)學(xué)是由形象向抽象過(guò)渡的關(guān)鍵時(shí)期，而我們?cè)诓恢挥X(jué)中滲透了考慮問(wèn)題的抽象思維的同時(shí)，反而將其形象的一面忽略。又由于我們?nèi)粘＿^(guò)于注重?cái)?shù)學(xué)解題理論，而忽略了學(xué)生的動(dòng)手能力，造成了學(xué)生解題思路的單一性。作為數(shù)學(xué)教師在教會(huì)學(xué)生基本知識(shí)的同時(shí)，更希望能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，任何一種解題思想都不是萬(wàn)能的，希望通過(guò)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，掌握處理問(wèn)題的不同方法。 畫出幾何圖形是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但是很多學(xué)生認(rèn)識(shí)不到不到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，加上日常教學(xué)中，有的老師不是很重視畫圖，導(dǎo)致有些學(xué)生不能迅速、準(zhǔn)確的根據(jù)條件畫出精確的圖形。從以上可以看出，根據(jù)條件能準(zhǔn)確畫出圖形也是我們數(shù)學(xué)解題的思路之一。分類思想與討論方法所謂“分類討論”就是在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)某一標(biāo)準(zhǔn)把研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后按類進(jìn)行討論。分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中的基本邏輯方法，初中數(shù)學(xué)中分類思想的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生逐步建立邏輯思維能力較為有效的載體。初中四年，是學(xué)生由形象的接受知識(shí)到抽象的感知知識(shí)的階段。學(xué)生通過(guò)對(duì)分類思想的建立和研究，培養(yǎng)了學(xué)生思維的條理性和縝密性，提高了學(xué)生全面周密地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。分類是討論的前提，討論是分類的延續(xù)，在建立了合理的分類后，只有找到正確的討論方法，才能認(rèn)為是完整的解決了問(wèn)題。分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)與屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)分類思想須滿足兩點(diǎn)要求：（1）對(duì)稱性，即保證分類的對(duì)象既不重復(fù)又不遺漏。（2）同一性，即每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)。初中數(shù)學(xué)分類思想的研究主要體現(xiàn)在以下三個(gè)基本的層面：一、數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)定義下的分類。具體的體現(xiàn)在等腰三角形的底角和頂角的分類；等腰三角形的腰和底邊的分類；不確定的相似三角形中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的分類等等。此類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是由于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在定義時(shí)自身產(chǎn)生了分類，而問(wèn)題的提問(wèn)方式?jīng)]有對(duì)該定義的分類內(nèi)容進(jìn)行解釋，題意本身要求學(xué)生在解題的時(shí)候，根據(jù)定義的分類要求進(jìn)行合理的分類討論。例如圖（1），在直角三角形ABC中，直角邊AC=3cm,BC=，Q分別為AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)A沿AB方向向點(diǎn)B作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，它們移動(dòng)的速度均為每秒1cm，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就停止移動(dòng)．設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，為等腰三角形？ACBPQ圖（1）（2）能否與直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，說(shuō)明理由．此題是典型的根據(jù)定義分類討論的問(wèn)題，第一小題要求確定為等腰三角形，但是題目中未確定哪兩條邊相等，所以根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，為了在討論中不重?fù)和不遺漏，對(duì)三條邊BP、PQ、BQ兩兩相等進(jìn)行了組合分類討論，分成了(1)BP=PQ；(2)PQ=BQ；(3)BP=BQ三種不同的情況。第二小題要求確定使其與相似，但是題目中未確定相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，所以根據(jù)相似三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，而本題根據(jù)圖形特點(diǎn)存在公共角，則若與，存在(1)；(2)兩種不同的情況。這類問(wèn)題的分類思想還是明確的，學(xué)生也是容易掌握分類和討論的方法，相對(duì)的難點(diǎn)在于分類后的解題方法會(huì)有一些困難，需要學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練和總結(jié)。二、數(shù)學(xué)問(wèn)題中圖形形狀及位置不確定情況下的分類。如不確定的三角形銳角、鈍角與直角的分類；不確定三角形的高存在外高和內(nèi)高的分類；圓中兩條平行弦在圓心同側(cè)和異側(cè)的分類；兩圓相切存在內(nèi)切和外切的分類；兩圓相交兩圓心在公共弦同側(cè)和異側(cè)的分類等等。此類問(wèn)題較多也較為復(fù)雜和隱蔽，很多情況下的分類是學(xué)生意想不到的。例若等腰三角形一腰上的高與該腰所對(duì)底角平分線的夾角是10176。，則此三角形的頂角是多少度.例半徑為25的圓O中的兩條平行弦，AB=40，CD=48，求兩弦之間的距離？DHCBA圖（2）BCHDA圖（3）此兩題并不是很難理解，對(duì)于例2，學(xué)生很快會(huì)告訴我答案為度，我告訴他們答案不完整，還存在另一個(gè)解度，很多學(xué)生的疑惑是“另一解是如何產(chǎn)生的？”“此題我為什么不知道要分類？”。由于問(wèn)題中沒(méi)有給出具體的圖形，所以要求我們自己進(jìn)行畫圖，學(xué)生思維的習(xí)慣性會(huì)畫出圖(2)，而很多人會(huì)忽略了圖(3)的情況，即不確定的一個(gè)三角形的同一條邊所對(duì)的高和角平分線存在兩種不同的位置關(guān)系。同樣分析例3，學(xué)生也是想不到畫兩條弦時(shí)有在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種不同情況的分類。對(duì)于這類問(wèn)題，學(xué)生不是不會(huì)做，而是分類思想是學(xué)生在解題時(shí)不容易想到，對(duì)于這類問(wèn)題一方面在平時(shí)不斷的積累，不斷的總結(jié)，使再次遇上同類型問(wèn)題時(shí)有分類的意識(shí)。其次是在分析題目時(shí)要不斷的問(wèn)自己（特別是未給出圖形，自己畫圖時(shí)），是否有其他情況存在的可能性。圖(4)BEAC（F）（F）D三、數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中不同情況下的分類。具體體現(xiàn)在點(diǎn)在線段、射線、直線及折線上運(yùn)動(dòng)時(shí)在不同的位置產(chǎn)生的分類；圖形運(yùn)動(dòng)中構(gòu)成相應(yīng)圖形不同情況下的分類等等。此類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是點(diǎn)或是圖形在運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了不同的情況。例如圖（4），ACB與DFE是全等的兩個(gè)直角三角形，其中ACB=DFE=900，AC=DF=4，BC=EF=3，點(diǎn)D、C、F、B在同一條直線上，點(diǎn)E在邊AC上，DFE沿著直線DB向右平移的過(guò)程中，設(shè)平移過(guò)程中的平移距離為x，DFE與ACB的公共部分的面積為，在移動(dòng)過(guò)程中，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域.此題的題意非常清楚，我們通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)DFE在移動(dòng)過(guò)程中與ACB的公共部分分成了四種情況：(1)如圖(5)圖形構(gòu)成梯形，此時(shí)x的范圍為；(2)如圖(6)圖形構(gòu)成五邊形，此時(shí)x的范圍為；(3)如圖(7)圖形構(gòu)成四邊形，此時(shí)x的范圍為；(4)如圖(8)圖形構(gòu)成三角形，此時(shí)x的范圍為。圖(5)BEACDF圖(6)BEAC（（F）DFC（（F）EA圖(7)BDFEA圖(8)BCDF此類問(wèn)題涉及點(diǎn)或圖形的運(yùn)動(dòng)，一方面要仔細(xì)分析題意，對(duì)題中的字詞引起重視（如邊、線段、射線和直線的區(qū)別等），另一方面要求將畫圖和空間想象能力（圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程）相結(jié)合。明確圖形運(yùn)動(dòng)的情形如何，移動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生了怎樣不同的情況，就可以確定分類的情況和分類的依據(jù)。l 幾何證明思路：（文字轉(zhuǎn)化成圖形）解題思路：初中幾何一般證題途徑證明兩線段相等 　　?！　?。　　?！　??！　?。　　?！　。ɑ虻葓A）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。　　?！　。ɑ騼珊箜?xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等?！　。ㄍ猓┕芯€的長(zhǎng)相等?！　??！　∽C明兩個(gè)角相等　　。　　?！　?，底邊上的中線（或高）平分頂角?！　?、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等?！　。ɑ虻冉牵┑挠嘟牵ɑ蜓a(bǔ)角）相等?！　。ɑ驁A）中，等弦（或弧）所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。　　，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角?！　??！　　！　∽C明兩直線平行　　?！　。瑑?nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行?！　　！　　！　??！　　！　。ɑ蜓娱L(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。　　證明兩條直線互相垂直　　?！　?，則這一邊所對(duì)的角是直角?！　?，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角?！　?。　　，則必垂直于另一條?！　??！　??！　??！　　！　。ɑ蚧。┑闹睆酱怪庇谙摇！　??！　∽C明線段的和差倍分　　，證明與第三條線段相等?！　?，證明余下部分等于第二條線段?！　?，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等?！　。僮C其一半等于短線段。　?。ㄈ切蔚闹形痪€、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）?！　∽C明角的和差倍分　　、差、倍、分思路相同?！　??！　　！　∽C明線段不等　　，大角對(duì)大邊?！　　！　?，兩邊之差小于第三邊?！　?，則夾角大的第三邊大?！　?，弧大弦大，弦心距小?！　??！　∽C明兩角的不等　　，大邊對(duì)大角?！　??！　?，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大?！　?，弧大則圓周角、圓心角大?！　?。　　證明比例式或等積式　　?！　　！　　！　　！　　嘟幌叶ɡ?、切割線定理及其推論?！　?。　　證明四點(diǎn)共圓　　?！　　！　。斀窃诘走叺耐瑐?cè)）?！　　！　?。l 中考專題講座178。 第一講 方案設(shè)計(jì)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)梳理通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題特別是作圖題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)性研究，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用能力和動(dòng)手操作能力的提高，是學(xué)為之用的教改精神的具體體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)教改中的一大熱點(diǎn)．這類題目不僅要求學(xué)生要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)雙基知識(shí)，而且要能夠把實(shí)際問(wèn)題中所涉及到的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，具有很普遍的實(shí)際意義，是中考熱點(diǎn)之一．創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力的課題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，將是今后數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn)之一．近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目．這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等．能與初中所學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)．題型1 設(shè)計(jì)圖形題幾何圖形的分割與設(shè)計(jì)在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，有時(shí)是根據(jù)面積相等來(lái)分割，有時(shí)是根據(jù)線段間的關(guān)系來(lái)分割，有時(shí)根據(jù)其它的某些條件來(lái)分割，做此類題一般用尺規(guī)作圖．題型2設(shè)計(jì)測(cè)量方案題設(shè)計(jì)測(cè)量方案題滲透到幾何各章節(jié)之中，例如：測(cè)量底部不能直接到達(dá)的小山的高，測(cè)量池塘的寬度，測(cè)量圓的直徑等，此類題目解法不惟一，是典型的開放型試題．題型3設(shè)計(jì)最佳方案題此類題目往往要求所設(shè)計(jì)的問(wèn)題中出現(xiàn)路程最短、運(yùn)費(fèi)最少、效率最高等詞語(yǔ)，解題時(shí)常常與函數(shù)、幾何聯(lián)系在一起．創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力的課題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，將是今后數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn)之一．近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目．這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等．能與初中所學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)．二、知識(shí)運(yùn)用舉例（一）方程、函數(shù)型設(shè)計(jì)題例1．已知甲、乙兩輛汽車同時(shí)、同方向從同一地點(diǎn)A出發(fā)行駛．（1）若甲車的速度是乙車的2倍，甲車走了90千米后立即返回與乙車相遇，相遇時(shí)乙車走了1小時(shí)．求甲、乙兩車的速度；（2）假設(shè)甲、乙每輛車最多只能帶200升汽油，每升汽油可以行駛10千米，途中不能再加油，但兩車可以互相借用對(duì)方的油，若兩車都必須沿原路返回到出發(fā)點(diǎn)A，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案使甲車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)A，并求出甲車一共行駛了多少千米？解：（1）設(shè)甲，乙兩車速度分別是x千米/時(shí)和y千米/時(shí)，根據(jù)題意得：．解之得：．　即甲、乙兩車速度分別是120千米/時(shí)、60千米/時(shí)．（2）方案一：設(shè)甲汽車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)A行駛了x千米，乙汽車行駛了y千米，則．　　　∴即．即甲、乙一起行駛到離A點(diǎn)500千米處，然后甲向乙借油50升，乙不再前進(jìn)，甲再前進(jìn)1000千米返回到乙停止處，再向乙借油50升，最后一同返回到A點(diǎn)，此時(shí)，甲車行駛了共3000千米． 　　甲行500千米乙行500千米甲再借油50升返回甲借油50升，甲行1000千米方案二：（畫圖法）如圖此時(shí)，甲車行駛了（千米）．方案三：先把乙車的油均分4份，每份50升．當(dāng)甲乙一同前往，用了50升時(shí)，甲向乙借油50升，乙停止不動(dòng)，甲繼續(xù)前行，當(dāng)用了100升油后返回，到乙停處又用了100升油，此時(shí)甲沒(méi)有油了，再向乙借油50升，一同返回到A點(diǎn)．此時(shí)，甲車行駛了（千米）．，B，C三種型號(hào)的甲品牌電腦和D，E兩種型號(hào)的乙品牌電腦．希望中學(xué)要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購(gòu)一種型號(hào)的電腦．（1） 寫出所有選購(gòu)方案(利用樹狀圖或列表方法表示）；（2） 如果（1）中各種選購(gòu)方案被選中的可能性相同，那么A型號(hào)電腦被選中的概率是多少？（3） 現(xiàn)知希望中學(xué)購(gòu)買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(tái)(價(jià)格如圖所示)，恰好用了10萬(wàn)元人民幣，其中甲品牌電腦為A型號(hào)電腦，求購(gòu)買的A型號(hào)電腦有幾臺(tái)．解：（1） 樹狀圖如下 列