冪指函數(shù)極限的計(jì)算-文庫吧
2025-05-01 04:27 本頁面
【正文】 力，從而提高解題的正確性及效率，提高分析問題的能力和解決問題的能力.2 冪指函數(shù)的定義一般地，形如函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，定義域?yàn)? 冪函數(shù)一般地，形如函數(shù)叫作冪函數(shù)，其中是自變量，定義域?yàn)? 冪指函數(shù)設(shè) 、 是定義在區(qū)域D上的兩個(gè)函數(shù)，形如的函數(shù)叫作區(qū)域D上的冪指函數(shù)，其中.以上給出指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及冪指函數(shù)的定義，目的是更好地理解冪指函數(shù)，不能將冪指函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)混為一談，冪指函數(shù)具有冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的兩重特性.3 冪指函數(shù)的極限 對自變量情形下的冪指函數(shù)的極限問題進(jìn)行探討：求冪指函數(shù)的極限時(shí)，因?yàn)?，可以把它改寫為指?shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性即知冪指函數(shù)的極限,，很自然地考察和，而對于極限和，若至少有一個(gè)不存在（不包括極限為無窮的情況），則冪指函數(shù)的極限問題極為復(fù)雜，且在實(shí)際問題中幾乎不出現(xiàn)，假設(shè), (包括A、B為無窮的情形).下面，將給出討論：（1） 。 則. (2) 。 則 .（3）。 則 .（4）時(shí)，是不確定式.（5）。 則.（6）。 則 .（7）時(shí), 是不確定式.（8）時(shí), .時(shí), . (9) 。 則. (10)。 則.（11)時(shí)，.時(shí)，.（12）。 則 .（13）。 則.（14）時(shí)，是不確定式 . 上述情況（4）記作 型、（7）記作 型 、（14）記作 型， 型、 型、 型三種形式為冪指函數(shù)極限問題的不確定式，其余情況為冪指函數(shù)極限問題的確定式.自變量時(shí)，冪指函數(shù)的極限類型與的極限類型有相同的情況，就不再列出.注1 若為小于1的非負(fù)數(shù)，而為無窮時(shí)，則極限并不是不確定式. 其中包括易誤認(rèn)為是不定式的型，因?yàn)?，?dāng)指數(shù)趨于無窮大時(shí)有，而當(dāng)指數(shù)趨于負(fù)無窮大時(shí)有 .注2 對于冪指函數(shù)的不確定式極限問題，它的底數(shù)部分與指數(shù)部分的極限過程是同步進(jìn)行的，也就是說，它是一個(gè)整體的極限，而不能簡單地理解為其底函數(shù)部分與指數(shù)函數(shù)部分分別單獨(dú)求極限，更不能有求極限的先后次序.4 冪指函數(shù)極限的計(jì)算方法 ，且底函數(shù)的極限大于零時(shí)，即當(dāng) ，（B為正常極限）時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性得 . 有一道求極限的問題 ，如果對底數(shù)部分和指數(shù)部分分別求極限 ，不理解只有當(dāng)，（B為正常極限）時(shí)，才可以用直接法求極限，錯(cuò)誤之二在于認(rèn)為不管冪的值為多少都有，其實(shí)，1的任何次冪都等于1指的是1的有限次冪.下面結(jié)合實(shí)例理解直接法求冪指函數(shù)的極限： 求極限 .解 因?yàn)?， 為正常極限 , 所以用直接法就得到極限. 求極限 . 解 因?yàn)?，為正常極限,所以用直接法就得到極限.利用重要極限求極限主要針對冪指函數(shù)極限問題的不確定式型. （1） （） 等價(jià)于同時(shí)成立以下兩個(gè)極限： （2）將（）可變型為： （） （3）在（）的基礎(chǔ)上可以用下列方法解決許多型的不確定式問題，就是對于的情況，有 （） 于是只要計(jì)算 即可. 求極限 .解 這是一個(gè)型不確定式極限，可用重要極限求解,將 化為 ，則指數(shù)部分需出現(xiàn) ，所以利用重要極限得. 求極限 . 解法1 將括號內(nèi)的分子分母同時(shí)除以后即可利用（）如下求極限： . 解法2 這是一個(gè)型不確定式極限，用（）的方法就得到. 對數(shù)解法 對冪指函數(shù)，等式兩邊可以同時(shí)取對數(shù)，便得到 ,通過求的極限 ，便可以得到冪指函數(shù)的極限.對數(shù)解法解決冪指函數(shù)極限的不確定式型、型、型，這三種不確定式極限一般經(jīng)過對數(shù)變換后，均可化為型或型的不定式極限，我們在題目中解決不定式極限型、型用到更多的方法是洛必達(dá)法則. 我們在轉(zhuǎn)化為型或型不定式極限后
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