等比數(shù)列及前n項(xiàng)和-文庫(kù)吧
2025-04-15 04:33 本頁(yè)面
【正文】 a1q ＝ 6 ，6 a1＋ a1q2＝ 30 ， 解得????? a1＝ 3 ，q ＝ 2或????? a1＝ 2 ，q ＝ 3. 當(dāng) a1＝ 3 ， q ＝ 2 時(shí)， an＝ 3 2n － 1， Sn＝ 3 ( 2n－ 1) ； 當(dāng) a1＝ 2 ， q ＝ 3 時(shí)， an＝ 2 3n － 1， Sn＝ 3n－ 1. 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量 a 1 ， n ， q ， a n ， S n 一般可以 “ 知三求二 ” ，通過(guò)列方程 ( 組 ) 可迎刃而解． 【訓(xùn)練 1 】 等比數(shù)列 { a n } 滿足： a 1 ＋ a 6 ＝ 11 ， a 3 a 4 ＝329，且公比 q ∈ ( 0,1) ． ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式； ( 2) 若該數(shù)列前 n 項(xiàng)和 S n ＝ 21 ，求 n 的值． 解 ( 1) ∵ a3 a4＝ a1 a6＝329， 又 a1＋ a6＝ 11 ， 故 a1， a6看作方程 x2－ 11 x ＋329＝ 0 的兩根 ， 又 q ∈ ( 0,1) ∴ a1＝323， a6＝13， ∴ q5＝a6a1＝132， ∴ q ＝12， ∴ an＝323??????12n － 1＝13??????12n － 6. 考向二 等比數(shù)列的判定或證明 【例 2 】 ? (2022 長(zhǎng)沙模擬 ) 已知數(shù)列 { an} 滿足 a1＝ 1 ， a2＝ 2 ， an ＋ 2＝an＋ an ＋ 12， n ∈ N*. (1) 令 bn＝ an ＋ 1－ an，證明： { bn} 是等比數(shù)列； (2) 求 { an} 的通項(xiàng)公式． [ 審題視點(diǎn) ] 第 (1) 問(wèn)把 bn＝ an ＋ 1－ an中 an ＋ 1換為an － 1＋ an2整理可證；第 (2) 問(wèn)可用疊加法求 an. ( 1) 證明 b 1 ＝ a 2 － a 1 ＝ 1. 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， b n ＝ a n ＋ 1 － a n ＝a n － 1 ＋ a n2－ a n ＝－12( a n － a n － 1 ) ＝－12b n －1 ， ∴ { b n } 是以 1 為首項(xiàng)，－12為公比的等比數(shù)列． (2) 解 由 (1) 知 bn＝ an ＋ 1－ an＝??????－12n － 1， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝ a1＋ ( a2－ a1) ＋ ( a3－ a2) ＋ ? ＋ ( an－ an － 1) ＝ 1 ＋ 1＋??????－12＋ ? ＋??????－12n － 2 ＝ 1 ＋1 －??????－12n － 11 －??????－12＝ 1 ＋23 ??????1 －??????－12n － 1 ＝53－23 ??????－12n － 1. 證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可． 【訓(xùn)練 2 】 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和 Sn＝ 2 an＋ 1 ，求證： { an} 是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式． 證明 ∵ Sn＝ 2 an＋ 1 ， ∴ Sn＋1＝ 2 an＋1＋ 1. ∴ an＋1＝ Sn＋1－ Sn ＝ (2 an＋
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