全等三角形的經(jīng)典模型一-文庫吧
2025-04-01 22:13 本頁面
【正文】 證是等邊三角形，，∴，∴，∴．【探究對象】等腰直角三角形添補成正方形的幾種常見題型 在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復雜時，可將等腰直角三角形引輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的一些性質(zhì)來解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。例4為求角度的應用，其他應用探究如下：【探究一】證角等【備選1】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90176。，AB=AC，M為AC中點，連結(jié)BM，作AD⊥BM交BC于點D，連結(jié)DM，求證:∠AMB=∠CMD．【解析】 作等腰Rt△ABC關(guān)于BC對稱的等腰Rt△BFC，延長AD交CF于點N，∵AN⊥BM，由正方形的性質(zhì)，可得AN=BM，易證Rt△ABM ≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，∵M為AC中點，∴CM=CN，∵∠1=∠2，可證得△CMD≌△CND，∴∠CND=∠CMD，∴∠AMB=∠CMD．【探究二】判定三角形形狀【備選2】如圖，Rt△ABC中，∠BAC= 90176。，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于點M，延長BD交NE的延長線于點F，試判定△DEF的形狀．【解析】 作等腰Rt△ABC關(guān)于BC對稱的等腰Rt△BHC，可知四邊形ABHC為正方形，延長AN交HC于點K，∵AK⊥BD，可知AK=BD，易證:Rt△ABD≌Rt△CAK，∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，∵AD=EC，∴CK=CE，易證△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，易證∠EDF=∠DEF，∴△DEF為等腰三角形．【探究三】利用等積變形求面積【備選3】如圖，Rt△ABC中，∠A=90176。，AB=AC，D為BC上一點，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．【解析】 作等腰Rt△ABC關(guān)于BC的對稱的等腰Rt△GCB，可知四邊形ABGC為正方形，分別延長FD、ED交BG、CG于點N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形對稱性質(zhì)，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DMDN=34=12．【探究四】求線段長【備選4】如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，∠BAC=45176。，BD=3，CD=2，求AD的長．【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45176。，若分別以AB、AC為對稱軸作Rt△ADB的對稱直角三角形和Rt△ADC的對稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等且夾角為90176。的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正方形．【解析】 以AB為軸作Rt△ADB的對稱的Rt△AEB，再以AC為軸作Rt△ADC的對稱的Rt△AFC．可知BE=BD=3，F(xiàn)C=CD=2，延長EB、FC交點G，∵∠BAC=45176。，由對稱性，可得∠EAF=90176。，且AE=AD=AF，易證四邊形AF
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