專升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料全-文庫(kù)吧
2025-04-01 12:52 本頁(yè)面
【正文】 1），…1，0，1，0，…數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列{xn}以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)xn可以無(wú)限靠近點(diǎn)A，即點(diǎn)xn與點(diǎn)A之間的距離|xnA|趨于0。比如：無(wú)限的趨向0無(wú)限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。（有界性）若數(shù)列{xn}收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。比如：1，0，1，0，…有界：0，1（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1），（2）， 則{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)極限的概念→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）→A（當(dāng)x→x0時(shí)）例y=f（x）=2x+1x→1,f（x）→?x1x→1x1x→1（2）左極限當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的左極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的左邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作或f（x00）=A（3）右極限當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）的右極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的右邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作或f（x0+0）=A例子：分段函數(shù)，求，解：當(dāng)x從0的左邊無(wú)限地趨于0時(shí)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的左極限是1，即有當(dāng)x從0的右邊無(wú)限地趨于0時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的右極限是1，即有顯然，函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于A，則必有。x→1時(shí)f(x)→?x≠1x→1f(x)→2對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)，f（x）的左極限是2，右極限也是2?！迺r(shí)，函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+→1定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）→A（當(dāng)x→∞時(shí)）（2）當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n→+∞的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。y=f(x)x→+∞f(x)x→？x→+∞，f(x)=2+→2例：函數(shù)f（x）=2+ex，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→？解：f（x）=2+ex=2+，x→+∞，f（x）=2+→2所以（3）當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）的極限是A，記作x→∞f(x)→？則f(x)=2+(x＜0)x→∞,x→+∞f(x)=2+→2例：函數(shù)，當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→？解：當(dāng)x→∞時(shí)，x→+∞→2，即有由上述x→∞，x→+∞，x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時(shí)f（x）的極限是A充分必要條件是當(dāng)x→+∞以及x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)，當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于常數(shù)1，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）
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